Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Proizvod prve i poslednje cifre broja N

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Proizvod prve i poslednje cifre broja N

Postod Mile2003 » Ponedeljak, 03. Jun 2019, 16:31

Zdravo zadatak glasi
Neka je [inlmath]n[/inlmath] najmanji prirodan broj koji je deljiv sa [inlmath]13[/inlmath], a pri deljenju brojevima [inlmath]2,3,4,5,6,7,8,9,10,11[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath]. Naci proizvod prve i poslednje cifre broja [inlmath]n[/inlmath].
Resenje [inlmath]8[/inlmath].
Ja dobijam [inlmath]9[/inlmath] primenivajuci ovaj postupak:
Pošto pri deljenju sa navedenim brojevima broj [inlmath]N[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] ako bismo broju [inlmath]N[/inlmath] oduzeli jedan on bi bio deljiv sa svima njima, to jest [inlmath]N-1=\text{NZS}(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath] što je ako sam dobro računao (više puta) [inlmath]N-1=227720[/inlmath] dakle [inlmath]N=27721[/inlmath]. S obzirom da je [inlmath]N[/inlmath] oblika [inlmath]13K[/inlmath] onda dobijeni broj treba još pomnožiti sa [inlmath]13[/inlmath] što će biti [inlmath]N=27721\cdot13=360373[/inlmath].
Moze li mi neko reci da li je ovo tacno ako ne ukazati na gresku.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 04. Jun 2019, 19:07, izmenjena samo jedanput
Razlog: Konverzija caps-locka u italic (tačka 3. Pravilnika); dodavanje Latex-tagova i korekcija Latexa
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Proizvod prve i poslednje cifre broja N

Postod Jovan111 » Ponedeljak, 03. Jun 2019, 18:01

Mile2003 je napisao:broj [inlmath]N[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] ako bismo broju [inlmath]N[/inlmath] oduzeli jedan on bi bio deljiv sa svima njima, to jest [inlmath]N-1=\text{NZS}(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath] ...

Pozdrav! U citiranom delu tačno je da je broj [inlmath]N-1[/inlmath] deljiv brojevima [inlmath]2,3,4,5,6,7,8,9,10,11[/inlmath], te je onda deljiv i sa [inlmath]\text{NZS}(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath]. Međutim, to ne mora da znači da je jedino [inlmath]N-1=\text{NZS}(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath], već je to samo jedna od mogućnosti!



Ako je [inlmath]N-1[/inlmath] deljiv sa [inlmath]\text{NZS}(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath], onda možemo zapisati sledeće:
[dispmath]N-1=\text{NZS}(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)\cdot q,\quad q\in\mathbb{N}\\
N-1=27720\cdot q,\quad q\in\mathbb{N}[/dispmath] te je odavde [inlmath]N=27720q+1,\enspace q\in\mathbb{N}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]N[/inlmath] istovremeno deljivo i sa [inlmath]13[/inlmath], onda tražimo najmanji prirodan broj [inlmath]q[/inlmath] za koji je [inlmath]N[/inlmath] deljivo sa [inlmath]13[/inlmath] (jer se u tekstu traži najmanje [inlmath]N\in\mathbb{N}[/inlmath]).
[dispmath]q=1\;\Longrightarrow\;N=27720\cdot1+1=27721\;\Longrightarrow\;13\enspace\not{\vert}\enspace N\\
q=2\;\Longrightarrow\;N=27720\cdot2+1=55441\;\Longrightarrow\;13\enspace\not{\vert}\enspace N\\
q=3\;\Longrightarrow\;N=27720\cdot3+1=83161\;\Longrightarrow\;13\enspace\vert\enspace N[/dispmath] Dakle, traženi broj je [inlmath]N=83161[/inlmath] i zaista je rešenje zadatka [inlmath]8\cdot1=8[/inlmath].
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

Re: Proizvod prve i poslednje cifre broja N

Postod Mile2003 » Ponedeljak, 03. Jun 2019, 19:59

Hvala puno
E da sam ovo bar ranije pitao :cry: jer radio sam slicne a rezultat mi se izgleda slucajno slagao sa resenjem ali nema veze bar znam za ubuduce.
Hvala
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Proizvod prve i poslednje cifre broja N

Postod Daniel » Utorak, 04. Jun 2019, 13:34

@Mile2003, zamolio bih te, bez caps-locka. Caps-lock se može shvatiti kao vikanje (tačka 3. Pravilnika). Ako želiš da izdvojiš deo teksta koji se odnosi na postupak, to možeš uraditi na drugi način (npr. italic-tagovima).

Drugo, ova tema nema nikakve veze s analizom. Ovo spada u rubriku „Teorija brojeva“. Tačka 8. Pravilnika.

Mile2003 je napisao:S obzirom da je [inlmath]N[/inlmath] oblika [inlmath]13K[/inlmath] onda dobijeni broj treba još pomnožiti sa [inlmath]13[/inlmath]

Ovo je pogrešno. Ako si odredio [inlmath]N[/inlmath] tako da [inlmath]N-1[/inlmath] bude [inlmath]\text{NZS}(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath], tada [inlmath]13N-1[/inlmath] više neće biti [inlmath]\text{NZS}(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)[/inlmath].

Jovan111 je napisao:te je odavde [inlmath]N=27720q+1,\enspace q\in\mathbb{N}[/inlmath].

Odavde možemo odmah odrediti [inlmath]q[/inlmath], ne moramo isprobavati [inlmath]q=1[/inlmath], [inlmath]q=2[/inlmath] itd. (šta bi bilo da se za minimalno [inlmath]q[/inlmath] dobije mnogo veći broj?) Pošto [inlmath]N[/inlmath] treba da bude deljivo sa [inlmath]13[/inlmath], treba i [inlmath]27720q+1[/inlmath] da bude deljivo sa [inlmath]13[/inlmath], a taj izraz možemo napisati kao [inlmath](13\cdot2132+4)q+1=13\cdot2132q+4q+1[/inlmath], odakle sledi da [inlmath]4q+1[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]13[/inlmath], a odatle je sasvim očigledno koliko iznosi minimalno [inlmath]q[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7753
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4073 puta
Pohvaljen: 4129 puta

Re: Proizvod prve i poslednje cifre broja N

Postod Mile2003 » Utorak, 04. Jun 2019, 15:38

Hvala.
Uzgred test na kojem mi je zadat ovaj zadatak je bio iz analize, pa nisam znao u koju rubriku bih ga stavio izvinjavam se
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 14. Novembar 2019, 06:54 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs