Stranica 1 od 1

Treći stepen nekog prirodnog broja – probni prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 20:41
od Jovan111
Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
17. zadatak


Broj [inlmath]2^k\cdot4^m\cdot8^n[/inlmath] [inlmath](k,m,n\in\mathbb{N})[/inlmath] je treći stepen nekog prirodnog broja ako i samo ako važi:
[inlmath]A)\;k[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]3;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;k+m[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]3;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;k+m+n[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]3;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\text{D)}}\;k-m[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]3;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;[/inlmath]svi brojevi [inlmath]k,m,n[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]3[/inlmath].



Da se primetiti da se broj [inlmath]2^k\cdot4^m\cdot8^n[/inlmath] može zapisati u obliku [inlmath]2^{k+2m+3n}[/inlmath] nakon čega se zaključuje da eksponent mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] ne bi li taj broj bio kub nekog prirodnog broja. Samim tim može se napisati [inlmath]k=3p[/inlmath], [inlmath]2m=3q[/inlmath] i [inlmath]3n=3r[/inlmath], gde su [inlmath]p,q,r\in\mathbb{N}[/inlmath]. Odatle se vidi da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], kao i da vrednost [inlmath]n[/inlmath] ne utiče na rezultat (zbog čega sam odbacio rešenje pod [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath]). Broj [inlmath]m[/inlmath] može se napisati u obliku:
[dispmath]m=\frac{3q}{2}[/dispmath] gde je [inlmath]q[/inlmath] prirodan broj koji mora biti deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] da bi važilo [inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]q[/inlmath] se može napisati kao [inlmath]q=2s[/inlmath], gde je [inlmath]s\in\mathbb{N}[/inlmath]. Konačno imamo za [inlmath]m[/inlmath] da je [inlmath]m=3s[/inlmath] ([inlmath]m[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]). Dakle, time odbacujemo i rešenje pod [inlmath]A[/inlmath], ali ne znam kako da zaključim da je rešenje baš pod [inlmath]D[/inlmath], a da pod [inlmath]B[/inlmath] nikako nije.

Molim pomoć :D

Re: Treći stepen nekog prirodnog broja – probni prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Nedelja, 16. Jun 2019, 02:33
od Corba248
Da bi traženi broj bio treći stepen nekog broja zbir [inlmath]k+2m+3n[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Kako je [inlmath]3n[/inlmath] svakako deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] preostaje da vidimo kada je [inlmath]k+2m[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. Napišemo [inlmath]k+2m=k-m+3m[/inlmath], pa odavde sledi da [inlmath]3[/inlmath] mora da deli razliku [inlmath]k-m[/inlmath].