Matematička indukcija, dokaz

PostPoslato: Subota, 06. Jul 2019, 16:04
od mat=slabastrana
Zadatak glasi: Primenom principa matematičke indukcije dokazati da za svaki prirodan broj važi:
[dispmath]\left(1-\frac{9}{2^2}\right)\left(1-\frac{9}{5^2}\right)\cdots\left(1-\frac{9}{(3n-1)^2}\right)=-\frac{3n+2}{2(3n-1)}[/dispmath] Zadatak me muči jer je ovo prvi put da vidim da je u pitanju množenje a ne sabiranje. Gledao sam na više mesta online, ali bezuspešno, tako da mi je potrebno nekakvo rešenje. Hvala unapred.

Re: Matematička indukcija, dokaz

PostPoslato: Subota, 06. Jul 2019, 16:57
od Jovan111
Pozdrav! Nema nikakve veze što je u pitanju množenje, a ne sabiranje. Ovo je čak i lak primer, i radi se primenom principa matematičke indukcije (neka su [inlmath]n,i\in\mathbb{N}[/inlmath]):

  • proverimo da li je jednakost tačna za [inlmath]n=1[/inlmath];
  • ako je prethodni korak uspešan, onda pretpostavimo [inlmath]n=i[/inlmath], što će biti naša induktivna hipoteza (pretpostavka);
  • na kraju uzmemo [inlmath]n=i+1[/inlmath], te ostaje da dokažemo da su dve strane jednakosti zaista jednake.
Ukoliko jednakost bude tačna za [inlmath]n=1[/inlmath] i za [inlmath]n=i+1[/inlmath], onda mora biti tačna i za [inlmath]n=i[/inlmath], čime smo dokazali hipotezu.



Za [inlmath]n=1[/inlmath] imali bismo:
[dispmath]1-\frac{9}{2^2}=-\frac{3\cdot1+2}{2(3\cdot1-1)}\iff-\frac{5}{4}=-\frac{5}{4}[/dispmath] To smo dokazali (inače, "to" se naziva baza indukcije). Pretpostavimo zatim [inlmath]n=i[/inlmath]:
[dispmath]{\color{red}\left(1-\frac{9}{2^2}\right)\left(1-\frac{9}{5^2}\right)\cdots\left(1-\frac{9}{\left(3i-1\right)^2}\right)}=-\frac{3i+2}{2\left(3i-1\right)}[/dispmath] Na kraju ostaje dokazati da je jednakost tačna za [inlmath]n=i+1[/inlmath].
[dispmath]{\color{red}\left(1-\frac{9}{2^2}\right)\left(1-\frac{9}{5^2}\right)\cdots\left(1-\frac{9}{\left(3i-1\right)^2}\right)}\left(1-\frac{9}{\bigl(3\left(i+1\right)-1\bigr)^2}\right)=-\frac{3\left(i+1\right)+2}{2\bigl(3\left(i+1\right)-1\bigr)}[/dispmath][dispmath]-\frac{3i+2}{2\left(3i-1\right)}\cdot\left(1-\frac{9}{\bigl(3\left(i+1\right)-1\bigr)^2}\right)=-\frac{3\left(i+1\right)+2}{2\bigl(3\left(i+1\right)-1\bigr)}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]