Stranica 1 od 1

Dokazati tvrdjenje primenom matematičke indukcije

PostPoslato: Sreda, 15. April 2020, 20:41
od Frank
Primenom matematičke indukcije dokazati sledeće tvrdjenje
[dispmath]\frac{7}{9}\cdot\frac{26}{28}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{n(n+1)}\right),\hspace{5mm}{n\ge2}[/dispmath] [inlmath]I[/inlmath] - Baza indukcije: Proveravam da li je tvrdnja zadovoljena za [inlmath]n=2[/inlmath]. Dobijam da je [inlmath]\frac{13}{18}=\frac{14}{18}[/inlmath] što nije isto. Po ovome tvrdnja nije tačna za sve prirodne brojeve vece ili jednake od [inlmath]2[/inlmath]. Posto indukcijska baza nije zadovoljena nema potrebe raditi ostale korake dokazivanja preko matematičke indukcije. Da li ja negde grešim ili je mozda neka greška u samom zadatku, a mozda treba da dokažemo da ova tvrdnja ne vazi za [inlmath]n\ge2[/inlmath]?
Hvala unapred!

Re: Dokazati tvrdjenje primenom matematičke indukcije

PostPoslato: Sreda, 15. April 2020, 23:11
od miletrans
Kako si dobio [inlmath]\frac{13}{18}[/inlmath] na levoj strani jednakosti? Za [inlmath]n=2[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2^3-1}{2^3+1}=\frac{7}{9}[/dispmath] Upravo to i treba da se dobije kao baza indukcije.

Re: Dokazati tvrdjenje primenom matematičke indukcije

PostPoslato: Četvrtak, 16. April 2020, 00:28
od Frank
Ni sam ne znam zasto sam ga mnozio drugim clanom niza, al' svejedno, opet ne uspevam da dokazem tvrdjenje.
Posto je baza indukcije zadovoljena prelazim na indukcijsku pretpostavku:
[dispmath]\cancel{\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{n(n+1)}\right)\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}=\cancel{\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)[/dispmath] Sad primenim razliku kubova i oslobodim se zagrade:
[dispmath]\frac{n^2\cdot(n+1)\left((n+1)^2+n+2\right)+n\cdot\left((n+1)^2+n+2\right)}{n(n+1)(n+2)\cdot\left((n+1)^2-n\right)}[/dispmath] Sad mogu i brojilac i imenilac da kratim sa [inlmath]n[/inlmath], ali posle nemam nikakavu ''pametnu'' ideju. Ako izmnozim sve... verujem da se nece nista znacajno pokratiti. Zanima me da li sam na dobrom putu ili ne? Hvala!

Re: Dokazati tvrdjenje primenom matematičke indukcije

PostPoslato: Četvrtak, 16. April 2020, 01:43
od miletrans
Dobro si krenuo sa ovim prvim izrazom koji si dobio. Sada izraze u zagradi svedi na razlomke tako da sa leve strane jednakosti dobiješ proizvod dva razlomka, a sa desne jedan razlomak. Nemoj odmah da množiš, ostavi imenioce faktorisane, neke stvari će se odmah pokratiti. Onda razvij zbir i razliku kubova i uoči čemu je jednak izraz [inlmath](n+1)^2-(n+1)+1[/inlmath] koji treba da dobiješ u imeniocu na levoj strani znaka jednakosti (to će se skratiti sa nečim). Dalje mislim da možeš da isplivaš.