Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Zadaci sa takmičenja

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod ubavic » Petak, 12. Jul 2013, 14:22

Evo mene ponovo :
[inlmath]5.[/inlmath] Odrediti sve parove celih brojeva [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] tako da je njihov proizvod [inlmath]5[/inlmath] puta veći od zbira.
[inlmath]6.[/inlmath] Postoje li celi brojevi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takvi da je [inlmath]x^2 + 5xy +6y^2 =3[/inlmath]?
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod Daniel » Subota, 13. Jul 2013, 07:25

ubavic je napisao:[inlmath]5.[/inlmath] Odrediti sve parove celih brojeva [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] tako da je njihov proizvod [inlmath]5[/inlmath] puta veći od zbira.

[dispmath]xy=5\left(x+y\right)[/dispmath][dispmath]xy=5x+5y[/dispmath][dispmath]x\left(y-5\right)=5y[/dispmath]Jednačina ne može biti zadovoljena za [inlmath]y=5[/inlmath], jer bi tada leva strana bila jednaka nuli, a desna bi bila različita od nule, dakle, [inlmath]y-5\ne 0[/inlmath], pa možemo obe strane podeliti sa [inlmath]y-5[/inlmath]:[dispmath]x=\frac{5y}{y-5}[/dispmath][dispmath]x=\frac{5y-25+25}{y-5}[/dispmath][dispmath]x=\frac{5y-25}{y-5}+\frac{25}{y-5}[/dispmath][dispmath]x=5+\frac{25}{y-5}[/dispmath][dispmath]x\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad 5+\frac{25}{y-5}\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad\frac{25}{y-5}\in\mathbb{Z}[/dispmath]Pošto broj [inlmath]25[/inlmath] ima dva prosta činioca, [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], broj [inlmath]25[/inlmath] će biti deljiv brojevima [inlmath]-25[/inlmath], [inlmath]-5[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]25[/inlmath]:[dispmath]y-5\in\left\{-25,-5,-1,1,5,25\right\}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{ll}
y-5=-25 & \Rightarrow & y=-20 & \Rightarrow & x=\frac{5\cdot\left(-20\right)}{-20-5}=4 & \Rightarrow & \underline{\left(x,y\right)=\left(4,-20\right)} \\
y-5\mathop=-5 & \Rightarrow & y=0 & \Rightarrow & x=\frac{5\cdot 0}{0-5}=0 & \Rightarrow & \underline{\left(x,y\right)=\left(0,0\right)} \\
y-5\mathop=-1 & \Rightarrow & y=4 & \Rightarrow & x=\frac{5\cdot 4}{4-5}=-20 & \Rightarrow & \underline{\left(x,y\right)=\left(-20,4\right)} \\
y-5\mathop=1 & \Rightarrow & y=6 & \Rightarrow & x=\frac{5\cdot 6}{6-5}=30 & \Rightarrow & \underline{\left(x,y\right)=\left(30,6\right)} \\
y-5\mathop=5 & \Rightarrow & y=10 & \Rightarrow & x=\frac{5\cdot 10}{10-5}=10 & \Rightarrow & \underline{\left(x,y\right)=\left(10,10\right)} \\
y-5\mathop=25 & \Rightarrow & y=30 & \Rightarrow & x=\frac{5\cdot 30}{30-5}=6 & \Rightarrow & \underline{\left(x,y\right)=\left(6,30\right)}
\end{array}[/dispmath]Uočavamo simetričnost rešenja u odnosu na [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], tj. da kada [inlmath]\left(x,y\right)=\left(a,b\right)[/inlmath] predstavlja jedno od rešenja ove jednačine, tada će i [inlmath]\left(x,y\right)=\left(b,a\right)[/inlmath] takođe predstavljati jedno od rešenja. To je posledica simetričnosti same jednačine [inlmath]xy=5\left(x+y\right)[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jul 2013, 01:05

ubavic je napisao:[inlmath]6.[/inlmath] Postoje li celi brojevi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takvi da je [inlmath]x^2 + 5xy +6y^2 =3[/inlmath]?

Postoje. :mhm:[dispmath]x^2+5xy+6y^2=3[/dispmath][dispmath]x^2+4xy+4y^2+xy+2y^2=3[/dispmath][dispmath]\left(x+2y\right)^2+y\left(x+2y\right)=3[/dispmath][dispmath]\left(x+2y\right)\left(x+2y+y\right)=3[/dispmath][dispmath]\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)=3[/dispmath]Pošto je [inlmath]3[/inlmath] prost broj, svaki od faktora na levoj strani jednačine može imati samo vrednosti [inlmath]-3[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath]:

[inlmath]1^\circ\quad x+2y=-3\quad\Rightarrow\quad x+3y=\frac{3}{x+2y}=\frac{3}{-3}=-1[/inlmath][dispmath]\left.\begin{array}{ll}
x+2y=-3 \\
x+3y=-1
\end{array}\right\}[/dispmath]Od druge jednačine oduzmemo prvu:[dispmath]y=2\quad\Rightarrow\quad x=-7\quad\Rightarrow\quad\underline{\left(x,y\right)=\left(-7,2\right)}[/dispmath]
[inlmath]2^\circ\quad x+2y=-1\quad\Rightarrow\quad x+3y=\frac{3}{x+2y}=\frac{3}{-1}=-3[/inlmath][dispmath]\left.\begin{array}{ll}
x+2y=-1 \\
x+3y=-3
\end{array}\right\}[/dispmath]Od druge jednačine oduzmemo prvu:[dispmath]y=-2\quad\Rightarrow\quad x=3\quad\Rightarrow\quad\underline{\left(x,y\right)=\left(3,-2\right)}[/dispmath]
[inlmath]3^\circ\quad x+2y=1\quad\Rightarrow\quad x+3y=\frac{3}{x+2y}=\frac{3}{1}=3[/inlmath][dispmath]\left.\begin{array}{ll}
x+2y=1 \\
x+3y=3
\end{array}\right\}[/dispmath]Od druge jednačine oduzmemo prvu:[dispmath]y=2\quad\Rightarrow\quad x=-3\quad\Rightarrow\quad\underline{\left(x,y\right)=\left(-3,2\right)}[/dispmath]
[inlmath]4^\circ\quad x+2y=3\quad\Rightarrow\quad x+3y=\frac{3}{x+2y}=\frac{3}{3}=1[/inlmath][dispmath]\left.\begin{array}{ll}
x+2y=3 \\
x+3y=1
\end{array}\right\}[/dispmath]Od druge jednačine oduzmemo prvu:[dispmath]y=-2\quad\Rightarrow\quad x=7\quad\Rightarrow\quad\underline{\left(x,y\right)=\left(7,-2\right)}[/dispmath]Znači, postoje četiri rešenja:[dispmath]\enclose{box}{\begin{array}{ll}
\left(x,y\right)=\left(-7,2\right) \\
\left(x,y\right)=\left(-3,2\right) \\
\left(x,y\right)=\left(3,-2\right) \\
\left(x,y\right)=\left(7,-2\right)
\end{array}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod ubavic » Nedelja, 21. Jul 2013, 16:14

[inlmath]7.[/inlmath] Odrediti sve cele brojeve [inlmath]a[/inlmath] za koje su izrazi [inlmath]96 + a[/inlmath] i [inlmath]5 + a[/inlmath] kubovi celih brojeva.
[inlmath]8.[/inlmath] Pokazati da postoji beskonačno mnogo četvorki celih pozitivnih brojeva [inlmath]x,y,z,t[/inlmath] za koje važi [inlmath]x^3 + y^4 = z^5 + t^6[/inlmath]

Oba su sa opštinskog takmičenja 2006.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

  • +1

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod Daniel » Nedelja, 21. Jul 2013, 23:42

ubavic je napisao:[inlmath]7.[/inlmath] Odrediti sve cele brojeve [inlmath]a[/inlmath] za koje su izrazi [inlmath]96 + a[/inlmath] i [inlmath]5 + a[/inlmath] kubovi celih brojeva.
[dispmath]\begin{array}{ll}
96+a=x^3 & \left(1\right) \\
5+a=y^3 & \left(2\right)
\end{array}[/dispmath][dispmath]\left(1\right)-\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad x^3-y^3=91[/dispmath][dispmath]\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=91[/dispmath][inlmath]x-y=k[/inlmath]
[inlmath]y=x-k[/inlmath][dispmath]k\left[x^2+x\left(x-k\right)+\left(x-k\right)^2\right]=91[/dispmath][dispmath]k\left(x^2+x^2-kx+x^2-2kx+k^2\right)=91[/dispmath][dispmath]k\left(3x^2-3kx+k^2\right)=91[/dispmath]Faktori broja [inlmath]91[/inlmath] su [inlmath]-91[/inlmath], [inlmath]-13[/inlmath], [inlmath]-7[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]13[/inlmath] i [inlmath]91[/inlmath]. Prema tome, on se može napisati na sledeće načine:
[dispmath]\begin{array}{ll}
91\mathop=\left(-91\right)\cdot\left(-1\right) & \Rightarrow & k=-91, & 3x^2-3kx+k^2=-1 \\
91\mathop=\left(-13\right)\cdot\left(-7\right) & \Rightarrow & k=-13, & 3x^2-3kx+k^2=-7 \\
91\mathop=\left(-7\right)\cdot\left(-13\right) & \Rightarrow & k=-7, & 3x^2-3kx+k^2=-13 \\
91\mathop=\left(-1\right)\cdot\left(-91\right) & \Rightarrow & k=-1, & 3x^2-3kx+k^2=-91 \\
91\mathop=1\cdot 91 & \Rightarrow & k=1, & 3x^2-3kx+k^2=91 \\
91\mathop=7\cdot 13 & \Rightarrow & k=7, & 3x^2-3kx+k^2=13 \\
91\mathop=13\cdot 7 & \Rightarrow & k=13, & 3x^2-3kx+k^2=7 \\
91\mathop=91\cdot 1 & \Rightarrow & k=91, & 3x^2-3kx+k^2=1
\end{array}[/dispmath][dispmath]3x^2-3kx+k^2=\frac{91}{k}\quad /\cdot k[/dispmath][dispmath]3kx^2-3k^2x+k^3=91[/dispmath][dispmath]3kx^2-3k^2x+k^3-91=0[/dispmath]Pošto rešenje ove jednačine po [inlmath]x[/inlmath] mora biti ceo broj, diskriminanta ove jednačine mora biti potpun kvadrat:[dispmath]D=9k^4-4\cdot 3k\left(k^3-91\right)[/dispmath][dispmath]D=9k^4-4\cdot 3k^4+4\cdot 3k\cdot 91[/dispmath]equation]D=-3k^4+4\cdot 3k\cdot 91[/equation][dispmath]D=3k\left(-k^3+4\cdot 91\right)[/dispmath][dispmath]D=3k\left(364-k^3\right)[/dispmath][dispmath]D>0\quad\Rightarrow\quad k\left(364-k^3\right)>0\quad\Rightarrow\quad\left(k>0\;\land\;364-k^3>0\right)\;\lor\;\left(k<0\;\land\;364-k^3<0\right)[/dispmath][dispmath]\left(k>0\;\land\;k^3<364\right)\;\lor\;\left(k<0\;\land\;k^3>364\right)[/dispmath][dispmath]\left(k>0\;\land\;k\le 7\right)\;\lor\;\cancelto{\bot}{\left(k<0\;\land\;k\ge 8\right)}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad k=1\quad\lor\quad k=7[/dispmath][inlmath]\underline{k=1}[/inlmath]
[inlmath]D=3\cdot 363=1089=33^2[/inlmath] :correct: potpun kvadrat
[inlmath]3kx^2-3k^2x+k^3-91=0[/inlmath]
[inlmath]3x^2-3x+1-91=0[/inlmath]
[inlmath]3x^2-3x-90=0[/inlmath]
[inlmath]x_{1,2}=\frac{3\pm 33}{6}[/inlmath]
[inlmath]x_1=-5\quad\Rightarrow\quad 96+a=\left(-5\right)^3=-125\quad\Rightarrow\quad a=-125-96\quad\Rightarrow\quad\underline{a=-221}[/inlmath]
[inlmath]x_2=6\quad\Rightarrow\quad 96+a=6^3=216\quad\Rightarrow\quad a=216-96\quad\Rightarrow\quad\underline{a=120}[/inlmath]

[inlmath]\underline{k=7}[/inlmath]
[inlmath]D=3\cdot 7\left(364-7^3\right)=21\cdot 21\mathop=21^2[/inlmath] :correct: potpun kvadrat
[inlmath]3kx^2-3k^2x+k^3-91=0[/inlmath]
[inlmath]21x^2-147x+343-91=0[/inlmath]
[inlmath]21x^2-147x+252=0[/inlmath]
[inlmath]x_{1,2}=\frac{147\pm 21}{42}[/inlmath]
[inlmath]x_1=3\quad\Rightarrow\quad 96+a=3^3=27\quad\Rightarrow\quad a=27-96\quad\Rightarrow\quad\underline{a=-69}[/inlmath]
[inlmath]x_2=4\quad\Rightarrow\quad 96+a=4^3=64\quad\Rightarrow\quad a=64-96\quad\Rightarrow\quad\underline{a=-32}[/inlmath]
[dispmath]\enclose{box}{a\in\left\{-221,-69,-32,120\right\}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod Daniel » Utorak, 23. Jul 2013, 13:25

ubavic je napisao:[inlmath]8.[/inlmath] Pokazati da postoji beskonačno mnogo četvorki celih pozitivnih brojeva [inlmath]x,y,z,t[/inlmath] za koje važi [inlmath]x^3 + y^4 = z^5 + t^6[/inlmath]

Moguće je pokazati da postoji beskonačno mnogo parova [inlmath]\left(x,z\right)[/inlmath] za koje važi [inlmath]x^3=z^5[/inlmath], kao i beskonačno mnogo parova [inlmath]\left(y,t\right)[/inlmath] za koje važi [inlmath]y^4=t^6[/inlmath], a odatle će slediti i da postoji beskonačno mnogo četvorki [inlmath]\left(x,y,z,t\right)[/inlmath] za koje važi [inlmath]x^3+y^4=z^5+t^6[/inlmath].

Neka je [inlmath]x[/inlmath] oblika [inlmath]n^p[/inlmath], gde su [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] pozitivni celi brojevi. Jednačina [inlmath]x^3=z^5[/inlmath] biće zadovoljena kada je [inlmath]z=x^\frac{3}{5}=n^\frac{3p}{5}[/inlmath], a pošto je i [inlmath]z[/inlmath] pozitivan ceo broj, potrebno je da [inlmath]p[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], tj. [inlmath]p=5k,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath].
Prema tome, za bilo koji par [inlmath]\left(x,z\right)[/inlmath] gde je [inlmath]x=n^{5k},\;z=n^{3k},\;n,k\in\mathbb{N}[/inlmath] jednačina [inlmath]x^3=z^5[/inlmath] je zadovoljena. Pošto [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] mogu uzeti beskonačno mnogo vrednosti, samim tim je i broj rešenja te jednačine beskonačan.

Na potpuno isti način se dolazi do toga da je jednačina [inlmath]y^4=t^6[/inlmath] zadovoljena za svaki par [inlmath]\left(y,t\right)[/inlmath] takav da je [inlmath]y=n^{3k},\;t=n^{2k},\;n,k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Isto kao i kod prethodne jednačine, i kod ove [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] mogu uzeti beskonačno mnogo vrednosti, pa je i broj rešenja ove jednačine beskonačan.

Pošto je pokazano da jednačine [inlmath]x^3=z^5[/inlmath] i [inlmath]y^4=t^6[/inlmath] imaju beskonačno mnogo rešenja, njihovim sabiranjem dobija se jednačina [inlmath]x^3+y^4=z^5+t^6[/inlmath] koja će takođe imati beskonačno mnogo rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +2

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod Milovan » Nedelja, 28. Jul 2013, 10:59

7-i zadatak se može i nešto drugačije (možda jednostavnije) rešiti.

Daniel je napisao:[dispmath]\begin{array}{ll}
96+a=x^3 & \left(1\right) \\
5+a=y^3 & \left(2\right)
\end{array}[/dispmath][dispmath]\left(1\right)-\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad x^3-y^3=91[/dispmath][dispmath]\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=91[/dispmath]

Pošto je [inlmath]x>y[/inlmath] onda je [inlmath]x-y>0[/inlmath] pa je [inlmath]x-y[/inlmath] pozitivni delilac broja [inlmath]91[/inlmath]. Isto važi i za drugi član proizvoda [inlmath]x^2+xy+y^2[/inlmath]

Prema tome, možemo zadatak pojednostaviti svodeći ga na sledeće sisteme:
(1) [inlmath]x-y=1,\;x^2+xy+y^2 = 91[/inlmath]
(2) [inlmath]x-y=7,\;x^2+xy+y^2 = 13[/inlmath]
(3) [inlmath]x-y = 13,\;x^2+xy+y^2 =7[/inlmath]
(4) [inlmath]x-y = 91,\;x^2+xy+y^2 = 1[/inlmath]

Rešavanjem ovih sistema (ubacivanjem [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] iz prve jednačine u drugu svakog sistema dobije se kvadratna jednačina, itd, itd) dobijamo [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath], a vraćanjem u polazne obrasce i odgovarajuće vrednosti [inlmath]a[/inlmath].
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

  • +1

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod Corba248 » Sreda, 15. Mart 2017, 00:50

Evo malo jednostavnijeg rešenja prvog zadatka iz ove teme koji glasi:
Odrediti sve proste brojeve [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], koji zadovoljavaju datu jednačinu:
[dispmath]p^q+q^p=r[/dispmath] [inlmath]r\in\mathbb{P}[/inlmath]
Broj [inlmath]r[/inlmath] je sigurno neparan jer je očigledno veći od [inlmath]2[/inlmath], te je jedan od brojeva [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] jednak [inlmath]2[/inlmath]. Daniel je to detaljno objasnio u svom postu u ovoj temi, da se ne zadržavam dalje na tome (imajte razumevanja pola 1 je ujutru :) ).
Dakle, nakon što zaključimo da jedan od brojeva [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] mora biti jednak [inlmath]2[/inlmath] (recimo [inlmath]p[/inlmath]) dobijemo sledeću jednakost:
[dispmath]2^q+q^2=r[/dispmath] Kako je [inlmath]q[/inlmath] prost broj, on je oblika [inlmath]q=6k+1[/inlmath] ili [inlmath]q=6k+5[/inlmath].
Ako je [inlmath]q=6k+1[/inlmath] imamo:
[dispmath]q^2+2^q=(6k+1)^2+64^k\cdot2\equiv1^2+1^k\cdot2=3\equiv0\pmod3[/dispmath]
Ako je [inlmath]q=6k+5[/inlmath] imamo:
[dispmath]q^2+2^q=(6k+5)^2+64^k\cdot2^5\equiv5^2+1^k\cdot32=57\equiv0\pmod3[/dispmath]
Te je [inlmath]q^2+2^q[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] odakle proverom sledi da su jedina rešenja [inlmath](2,3)[/inlmath] i [inlmath](3,2)[/inlmath].
Možda nekome posluži. :)
P.S. Uzimanjem da je [inlmath]q=6k+1[/inlmath] ili [inlmath]q=6k+5[/inlmath] nismo obuhvatili slučajeve [inlmath]q=3[/inlmath] i [inlmath]q=5[/inlmath], mada smo mogli obuhvatiti slučaj [inlmath]q=5[/inlmath] da smo umesto [inlmath]q=6k+5[/inlmath] uzeli [inlmath]q=6k-1[/inlmath]. :)
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod pentagram142857 » Sreda, 15. Mart 2017, 14:28

Evo jednog (po meni) vrlo teskog zadatka iz republickog takmicenja [inlmath]2017.[/inlmath] godine za [inlmath]4.[/inlmath] razred B kategorije:
[inlmath]7.)[/inlmath] Ako je [inlmath]n^2+2^n[/inlmath] prost broj za neki prirodan broj [inlmath]n>1[/inlmath], dokazati da je [inlmath]n[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], ali nije deljiv sa [inlmath]6[/inlmath].

Bicu zauzet oko prijemnog ovih dana, pa necu moci cesto da obilazim matemaniju.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Zadaci sa takmičenja

Postod mala_mu » Sreda, 15. Mart 2017, 20:50

Pošto je u zadatku dato da je [inlmath]n^2+2^n[/inlmath] prost za neki prirodan broj [inlmath]n>1[/inlmath], možemo prvo potražiti koje je to [inlmath]n[/inlmath].
Prvo ću pretpostaviti da je [inlmath]n[/inlmath] neparan broj.
Tada [inlmath]n^2+2^n[/inlmath] mogu zapisati kao [inlmath]n^2-1+2^n+1=(n-1)(n+1)+(2+1)\left(1-2+2^2+\cdots+2^{n-1}\right)=(n-1)(n+1)+3m[/inlmath].
Neka je [inlmath]n>3[/inlmath], to znači da je [inlmath]n\neq3[/inlmath], a jedan od brojeva [inlmath]n-1[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n+1[/inlmath] djeljiv je sa [inlmath]3[/inlmath] što će reći da je [inlmath]n^2+2^n[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
Preostale mogućnosti su [inlmath]n=2[/inlmath] ili [inlmath]n=3[/inlmath]
Za [inlmath]n=3[/inlmath] naš broj je [inlmath]17[/inlmath], prost broj.
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 02:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs