ubavic je napisao:[inlmath]1.[/inlmath] Odrediti sve proste brojeve [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], koji zadovoljavaju jednačinu [inlmath]p^q+q^p=r \quad r \in \mathbb{R}[/inlmath]. (Srbija 1991)
(uz već pomenutu ispravku da je i [inlmath]r[/inlmath] prost broj)
Uočimo odmah da, ako nađemo rešenje [inlmath]\left(p,q\right)[/inlmath], tada će važiti simetričnost, pa će i [inlmath]\left(q,p\right)[/inlmath] takođe predstavljati rešenje.
Pošto su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] prosti brojevi, mora važiti [inlmath]p\ge 2[/inlmath] i [inlmath]q\ge 2[/inlmath], pa [inlmath]p^q+q^p[/inlmath], tj. [inlmath]r[/inlmath], ne može biti jednako [inlmath]2[/inlmath]. Pošto je [inlmath]2[/inlmath] jedini paran prost broj, a [inlmath]r[/inlmath] je prost broj koji nije [inlmath]2[/inlmath], sledi da [inlmath]r[/inlmath] mora biti neparno.
Bilo koji neparan broj dignut na bilo koji stepen kao rezultat daje opet – neparan broj. Isto tako, bilo koji paran broj dignut na bilo koji stepen kao rezultat daje opet – paran broj. Odavde sledi da [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] ne smeju istovremeno biti neparni ili istovremeno parni, jer bi tada i [inlmath]p^q[/inlmath] i [inlmath]q^p[/inlmath] bili istovremeno neparni, odnosno istovremeno parni, pa bi njihov zbir, tj. [inlmath]r[/inlmath], bio paran, a već smo konstatovali da je [inlmath]r[/inlmath] neparan broj. Znači, jedan od brojeva [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] mora biti neparan, a drugi paran. Pošto su oba ova broja prosta, a jedini paran prost broj je [inlmath]2[/inlmath], zaključujemo da jedan od ova dva broja, onaj koji je paran, mora biti [inlmath]2[/inlmath]. Uzmimo da je to broj [inlmath]p[/inlmath] (jer već smo konstatovali da važi simetričnost rešenja). Znači, [inlmath]p=2[/inlmath]:
[dispmath]2^q+q^2=r[/dispmath]
Pošto je [inlmath]q[/inlmath] neparan i prost broj, a najmanji neparan prost broj je [inlmath]3[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]q\ge 3[/inlmath]. Prvo posmatramo slučaj [inlmath]q=3[/inlmath], a zatim slučaj [inlmath]q>3[/inlmath]:
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=3:[/inlmath]
[dispmath]2^3+3^2=r[/dispmath]
[dispmath]8+9=17=r[/dispmath]
Pošto je [inlmath]17[/inlmath] prost broj, [inlmath]q=3[/inlmath] predstavlja rešenje, tako da će rešenja za ovaj slučaj biti [inlmath]\left(2,3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3,2\right)[/inlmath].
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]q>3:[/inlmath]
Pošto je [inlmath]q[/inlmath] prost broj i veći od [inlmath]3[/inlmath], on ne može biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], tj. ne može biti [inlmath]q=3k[/inlmath], već može biti samo [inlmath]q=3k+1[/inlmath] ili [inlmath]q=3k+2[/inlmath], [inlmath]k\in\mathrm{N}[/inlmath]. Zato posmatramo dva podslučaja:
[inlmath]IIa:\quad q=3k+1\quad\Rightarrow\quad[/inlmath]pošto je [inlmath]q[/inlmath] neparno, u ovom slučaju [inlmath]k[/inlmath] mora biti parno;
[inlmath]IIb:\quad q=3k+2\quad\Rightarrow\quad[/inlmath]pošto je [inlmath]q[/inlmath] neparno, u ovom slučaju [inlmath]k[/inlmath] mora biti neparno.
[inlmath]IIa:\quad q=3k+1,\quad k[/inlmath] parno:
[dispmath]2^{3k+1}+\left(3k+1\right)^2=r[/dispmath]
[dispmath]8^k\cdot 2+9k^2+6k+1=r[/dispmath]
[dispmath]\left(9-1\right)^k\cdot\left(3-1\right)+9k^2+6k+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left(9-1\right)^k-\left(9-1\right)^k+9k^2+6k+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+2k\right]-\left(9-1\right)^k+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+2k\right]-\left[{k\choose 0}9^k\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-1}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}9\left(-1\right)^{k-1}+{k\choose k}\left(-1\right)^k\right]+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+2k\right]-9\left[{k\choose 0}9^{k-1}\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-2}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}\left(-1\right)^{k-1}\right]-\cancelto{1}{k\choose k}\left(-1\right)^k+1=r[/dispmath]Pošto je u ovom slučaju [inlmath]k[/inlmath] parno, tada je [inlmath]\left(-1\right)^k=1[/inlmath]:
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+2k\right]-9\left[{k\choose 0}9^{k-1}\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-2}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}\left(-1\right)^{k-1}\right]-\cancel 1+\cancel 1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+2k\right]-9\left[{k\choose 0}9^{k-1}\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-2}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}\left(-1\right)^{k-1}\right]=r[/dispmath]Odavde se vidi da je [inlmath]r[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. A pošto je [inlmath]r>3[/inlmath] (budući da je [inlmath]p=2[/inlmath] i [inlmath]q>3[/inlmath]), to znači da [inlmath]r[/inlmath] nije prost broj, tako da ovaj slučaj otpada.
[inlmath]IIb:\quad q=3k+2,\quad k[/inlmath] neparno:
[dispmath]2^{3k+2}+\left(3k+2\right)^2=r[/dispmath]
[dispmath]8^k\cdot 2^2+9k^2+12k+4=r[/dispmath]
[dispmath]\left(9-1\right)^k\cdot\left(3+1\right)+9k^2+12k+3+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left(9-1\right)^k+\left(9-1\right)^k+9k^2+12k+3+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+4k+1\right]+\left(9-1\right)^k+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+4k+1\right]+\left[{k\choose 0}9^k\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-1}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}9\left(-1\right)^{k-1}+{k\choose k}\left(-1\right)^k\right]+1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+4k+1\right]+9\left[{k\choose 0}9^{k-1}\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-2}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}\left(-1\right)^{k-1}\right]+\cancelto{1}{k\choose k}\left(-1\right)^k+1=r[/dispmath]Pošto je u ovom slučaju [inlmath]k[/inlmath] neparno, tada je [inlmath]\left(-1\right)^k=-1[/inlmath]:
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+4k+1\right]+9\left[{k\choose 0}9^{k-1}\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-2}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}\left(-1\right)^{k-1}\right]-\cancel 1+\cancel 1=r[/dispmath]
[dispmath]3\left[\left(9-1\right)^k+3k^2+4k+1\right]+9\left[{k\choose 0}9^{k-1}\left(-1\right)^0+{k\choose 1}9^{k-2}\left(-1\right)^1+\cdots+{k\choose{k-1}}\left(-1\right)^{k-1}\right]=r[/dispmath]Odavde se vidi da je [inlmath]r[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. A pošto je [inlmath]r>3[/inlmath] (budući da je [inlmath]p=2[/inlmath] i [inlmath]q>3[/inlmath]), to znači da [inlmath]r[/inlmath] nije prost broj, tako da i ovaj slučaj otpada.
Znači, jedina dva para rešenja su
[dispmath]\enclose{box}{\begin{array}{ll}
\left(p,q\right)=\left(2,3\right) \\
\left(p,q\right)=\left(3,2\right)
\end{array}}[/dispmath]