Što se tiče dokaza preko indukcije i mog pitanja,
Daniel je napisao:drmm je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{prs}{s-1}[/dispmath] Ponovo, prethodno dobijeni izraz je deljiv sa [inlmath]p[/inlmath].
Ako može pojašnjenje, na osnovu čega zaključujemo da je deljiv sa [inlmath]p[/inlmath]?
ne uočavam da je deljivost sa [inlmath]p[/inlmath] odavde baš očigledna, ali u međuvremenu sam tu deljivost uspeo da dokažem (na ne baš kratak način). Uvrstimo [inlmath]k=ps-1[/inlmath] u jednakost [inlmath]{k\choose p}=\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor+pr[/inlmath],
[dispmath]{ps-1\choose p}=\left\lfloor\frac{ps-1}{p}\right\rfloor+pr\\
\frac{(ps-1)(ps-2)\cdots(ps-p+1)(ps-p)}{p(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}=s-1+pr\\
\frac{(ps-1)(ps-2)\cdots(ps-p+1)(s-1)}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}=s-1+pr[/dispmath] E sad, ako bismo pretpostavili da je [inlmath]s-1[/inlmath] deljivo sa [inlmath]p[/inlmath], tj. da je [inlmath]s-1=mp[/inlmath] ([inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath]):
[dispmath]\frac{\left(mp^2+p-1\right)\left(mp^2+p-2\right)\cdots\left(mp^2+1\right)m\cancel p}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}=m\cancel p+\cancel pr\\
r=\frac{\left(mp^2+p-1\right)\left(mp^2+p-2\right)\cdots\left(mp^2+1\right)m}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}-m\\
r=m\frac{\left(mp^2+p-1\right)\left(mp^2+p-2\right)\cdots\left(mp^2+1\right)-(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}[/dispmath] Pošto [inlmath]\left(mp^2+p-1\right)\left(mp^2+p-2\right)\cdots\left(mp^2+1\right)[/inlmath], kad se izmnoži, predstavlja neki izraz oblika [inlmath]mp^2f(m,p)+(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1[/inlmath], to možemo pisati
[dispmath]r=m\frac{mp^2f(m,p)+\cancel{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}-\cancel{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}\\
r=\frac{m^2p^2f(m,p)}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}\\
\overset{mp=s-1}{=\!=\!=\!\Longrightarrow}\quad r=\frac{mp(s-1)f(m,p)}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}[/dispmath] Uvrštavanjem dobijenog izraza za [inlmath]r[/inlmath] u posmatrani izraz [inlmath]\frac{prs}{s-1}[/inlmath],
[dispmath]\frac{prs}{s-1}=\frac{ps}{\cancel{s-1}}\cdot\frac{mp\cancel{(s-1)}f(m,p)}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}=\frac{mp^2sf(m,p)}{(p-1)(p-2)\cdots2\cdot1}[/dispmath] što znači da će, u slučaju da je [inlmath]s-1[/inlmath] deljivo sa [inlmath]p[/inlmath], taj izraz biti deljiv ne samo sa [inlmath]p[/inlmath], već i sa [inlmath]p^2[/inlmath].
U suprotnom, u slučaju da [inlmath]s-1[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]p[/inlmath], deljivost izraza [inlmath]\frac{prs}{s-1}[/inlmath] sa [inlmath]p[/inlmath] sasvim je očigledna.
Naravno, ukoliko postoji neki očigledniji način da se deljivost izraza [inlmath]\frac{prs}{s-1}[/inlmath] sa [inlmath]p[/inlmath] odmah uoči, zanimaće me da ga vidim.