-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
ubavic
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Subota, 19. Oktobar 2013, 02:31
Uradiću ti pod v), a ti pokušaj pod b) i pod g).
[dispmath]\frac{n^3-n}{6}=\frac{n\left(n^2-1\right)}{6}=\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}[/dispmath]
Pošto su [inlmath]n-1[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]n+1[/inlmath] tri uzastopna cela broja, jedan od njih mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], pa će i njihov proizvod biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
A pošto se među njima sigurno nalazi i bar jedan paran broj, njihov proizvod mora biti paran, tj. deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].
Pošto je proizvod ova tri broja istovremeno deljiv i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]2[/inlmath], to znači da je deljiv i sa [inlmath]6[/inlmath].
A pošto je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], to znači da će količnik tog proizvoda i broja [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}[/inlmath], biti ceo broj.
Što se tiče predznaka, pošto [inlmath]n\in\mathbb{N}_0[/inlmath], od ova tri broja jedino [inlmath]n-1[/inlmath] može biti negativan. Međutim, on će biti negativan samo onda kada je [inlmath]n=0[/inlmath], pa će proizvod biti jednak nuli, što znači da proizvod nikad nije negativan. Ovime je dokazano da je [inlmath]\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}[/inlmath] nenegativan ceo broj. tj. [inlmath]\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}\in\mathbb{N}_0[/inlmath].
U zadatku pod v) neparan broj napišeš u obliku [inlmath]\left(2n-1\right)[/inlmath], a zatim ga kvadriraš (formula za kvadrat binoma!)
U zadatku pod g) četiri uzastopna cela broja predstavi kao [inlmath]n-1[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n+1[/inlmath] i [inlmath]n+2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain