Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Tri zadatka iz teorije brojeva

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Tri zadatka iz teorije brojeva

Postod Binom » Petak, 18. Oktobar 2013, 00:26

Pomoc:
1. Izračunaj:
[dispmath]\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{n^2+3n+2}=[/dispmath]
2. Dokaži sledeće jednakosti:
[dispmath]\frac{1-\frac{1}{x}+x^n-x^{n+1}}{1+x+x^2+\cdots+x^n}=2-\left(x+\frac{1}{x}\right)[/dispmath]
3.Dokaži:
b) Kvadrat neparnog broja umanjen za [inlmath]1[/inlmath] deljiv je sa [inlmath]8[/inlmath].
v) [inlmath]\frac{n^3-n}{6}\in\mathbb{N}_0,\quad\forall n\in\mathbb{N}_0[/inlmath]
g) Proizvod četri uzastopna cela broja uvećan za [inlmath]1[/inlmath] je kvadrat nekog celog broja.
Poslednji put menjao ubavic dana Ponedeljak, 21. Oktobar 2013, 22:23, izmenjena 4 puta
Razlog: Prebacivanje slike u LaTex
Binom  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tri zadatka iz teorije brojeva

Postod Daniel » Subota, 19. Oktobar 2013, 01:29

1.
Transformiši svaki sabirak na sledeći način:
[dispmath]\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{n^2+3n+2}=\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\cdots+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\\
=\frac{3-2}{2\cdot3}+\frac{4-3}{3\cdot4}+\frac{5-4}{4\cdot5}+\cdots+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\\
=\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{3}}+\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}+\cancel{\frac{1}{4}}-\cancel{\frac{1}{5}}+\cdots+\cancel{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}[/dispmath]
To možeš (ali i ne moraš) dalje da središ ovako:
[dispmath]\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+\cancel2-\cancel2}{2\left(n+2\right)}=\frac{n}{2\left(n+2\right)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tri zadatka iz teorije brojeva

Postod Daniel » Subota, 19. Oktobar 2013, 01:47

U 2. zadataku ispred brojioca izvuci [inlmath]1-\frac{1}{x}[/inlmath]:
[dispmath]1-\frac{1}{x}+x^n-x^{n+1}=1-\frac{1}{x}-x^{n+1}\left(1-\frac{1}{x}\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-x^{n+1}\right)[/dispmath]
Imenilac tog razlomka predstavlja sumu geometrijskog niza, pa možeš primeniti formulu za njeno izračunavanje. A ako niste radili geometrijske nizove, onda ste radili identitet [inlmath]1-x^{n+1}=\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+\cdots+x^n\right)[/inlmath], pa odatle izrazi [inlmath]1+x+x^2+\cdots+x^n[/inlmath].
Zatim uoči šta može da se skrati...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Tri zadatka iz teorije brojeva

Postod Daniel » Subota, 19. Oktobar 2013, 02:31

Uradiću ti pod v), a ti pokušaj pod b) i pod g).
[dispmath]\frac{n^3-n}{6}=\frac{n\left(n^2-1\right)}{6}=\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}[/dispmath]
Pošto su [inlmath]n-1[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]n+1[/inlmath] tri uzastopna cela broja, jedan od njih mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], pa će i njihov proizvod biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
A pošto se među njima sigurno nalazi i bar jedan paran broj, njihov proizvod mora biti paran, tj. deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].
Pošto je proizvod ova tri broja istovremeno deljiv i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]2[/inlmath], to znači da je deljiv i sa [inlmath]6[/inlmath].
A pošto je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], to znači da će količnik tog proizvoda i broja [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}[/inlmath], biti ceo broj.
Što se tiče predznaka, pošto [inlmath]n\in\mathbb{N}_0[/inlmath], od ova tri broja jedino [inlmath]n-1[/inlmath] može biti negativan. Međutim, on će biti negativan samo onda kada je [inlmath]n=0[/inlmath], pa će proizvod biti jednak nuli, što znači da proizvod nikad nije negativan. Ovime je dokazano da je [inlmath]\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}[/inlmath] nenegativan ceo broj. tj. [inlmath]\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}\in\mathbb{N}_0[/inlmath].



U zadatku pod v) neparan broj napišeš u obliku [inlmath]\left(2n-1\right)[/inlmath], a zatim ga kvadriraš (formula za kvadrat binoma!)
U zadatku pod g) četiri uzastopna cela broja predstavi kao [inlmath]n-1[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n+1[/inlmath] i [inlmath]n+2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 06:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs