Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Zapis kuba prirodnog broja

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Zapis kuba prirodnog broja

Postod Ninjaa » Subota, 08. Februar 2014, 18:47

Da li je moguce neki prirodan broj [inlmath]n^3[/inlmath] napistati u obliku [inlmath](3m+1)[/inlmath] ?
Ninjaa  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Zapis kuba prirodnog broja

Postod dag » Subota, 08. Februar 2014, 19:26

Moguće je, [inlmath]4^3=64=63+1=3\cdot 21+1[/inlmath]
dag  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Zapis kuba prirodnog broja

Postod Daniel » Subota, 08. Februar 2014, 20:29

@Ninjaa pretpostavljam da je i [inlmath]m[/inlmath] prirodan broj, iako to nisi eksplicitno napisao.
To bi značilo, rešiti u domenu prirodnih brojeva sledeću jednačinu po [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]n^3=3m+1[/dispmath]
Prebacimo jedinicu na levu stranu,
[dispmath]n^3-1=3m[/dispmath]
razložimo razliku kubova na levoj strani,
[dispmath]\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)=3m[/dispmath]
Pošto desna strana jednačine predstavlja bilo koji prirodan broj deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], takođe mora i leva strana jednačine biti deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]. To znači da bar jedan od faktora na levoj strani jednačine, [inlmath]\left(n-1\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(n^2+n+1\right)[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]n-1=3p\quad\lor\quad n^2+n+1=3p,\qquad p\in\mathbb{N}[/dispmath][dispmath]n=3p+1\quad\lor\quad n^2+n=3p-1[/dispmath][dispmath]n=3p+1\quad\lor\quad n\left(n+1\right)=3p-1[/dispmath]
[inlmath]n\left(n+1\right)=3p-1[/inlmath] nam govori sledeće: desna strana jednačine, [inlmath]3p-1[/inlmath], nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], pa, samim tim, ne sme biti ni leva. Leva strana iznosi [inlmath]n\left(n+1\right)[/inlmath], tj. to je proizvod dva uzastopna prirodna brojeva, a pošto taj proizvod ne sme biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], znači da nijedan od ta dva uzastopna prirodna broja ne sme biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. To znači da prvi od ta dva uzastopna prirodna broja može biti jedino oblika [inlmath]3p+1[/inlmath], a drugi jedino oblika [inlmath]3p+2[/inlmath]. Znači, može biti jedino [inlmath]n=3p+1[/inlmath], [inlmath]n+1=3p+2[/inlmath], odakle sledi da može biti jedino [inlmath]n=3p+1[/inlmath], što nam ne daje nikakav dodatni skup rešenja u odnosu na onaj koji smo već dobili, tj. [inlmath]n=3p+1[/inlmath].

Znači, svi prirodni brojevi koji zadovoljavaju [inlmath]n=3p+1,\:p\in\mathbb{N}[/inlmath], a to su [inlmath]4,7,10,13,\dots[/inlmath] (tj. svaki treći prirodan broj), zadovoljavaće i [inlmath]n^3=3m+1,\quad m\in\mathbb{N}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 13:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs