Moglo je za nijansu jednostavnije:
Broj [inlmath]400\ldots09[/inlmath] napišemo kao [inlmath]4\cdot10^k+9=m^2[/inlmath] pa je:
[dispmath]4\cdot10^k=(m-3)(m+3)[/dispmath] [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]
Sada posmatramo levu stranu jednačine, odnosno čime je ona deljiva. Iskoristićemo jednu osobinu deljivosti, za koju mi se čini da je ispravna ([inlmath](a,b)[/inlmath] - najveći zajednički delilac):
[dispmath]a-b=6\;\Longrightarrow\;(a,b)\vert6[/dispmath] Dakle, [inlmath](m+3)-(m-3)=6\;\Longrightarrow\;(m+3,\;m-3)\vert6[/inlmath]. Kako [inlmath]4\cdot10^k[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a obe strane jednakosti su parni brojevi sledi [inlmath](m+3,\;m-3)=2[/inlmath]. Kada desnu stranu rastavimo na faktore dobićemo:
[dispmath]2^2\cdot2^k\cdot5^k=2^{k+2}\cdot5^k=(m-3)(m+3)[/dispmath] Kako je [inlmath](m+3,\;m-3)=2[/inlmath] postoje dve mogućnosti:
Prvo:
[dispmath]m+3=2\cdot5^k[/dispmath] i
[dispmath]m-3=2^{k+1}[/dispmath] Onda je [inlmath](m+3)-(m-3)=6=2\left(5^k-2^k\right)\;\Longrightarrow\;5^k-2^k=3[/inlmath] što važi samo za [inlmath]k=1[/inlmath] (zato što je [inlmath]5^k-2^k>3[/inlmath] za sve druge vrednosti [inlmath]k[/inlmath]) u tom slučaju je [inlmath]4\cdot10^k+9=49[/inlmath], a to ne ispunjava uslove zadatka.
Drugo:
[dispmath]m+3=2^{k+1}\cdot5^k[/dispmath] i
[dispmath]m-3=2[/dispmath] Tada je [inlmath]m=5[/inlmath] što opet ne zadovoljava uslove zadatka.
P.S. Baš me interesuje zvanično rešenje sa tog takmičenja, namučih se dok sam rešio, pa ako neko zna bar sa kog je takmičenja, zamolio bih ga da postuje ovde.