[dispmath]4\cdot10^n+9=a^2[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=a^2-9[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(a+3)\cdot(a-3)[/dispmath][dispmath]10^n=\frac{(a+3)}{2}\cdot\frac{(a-3)}{2}[/dispmath]
[inlmath]a[/inlmath] mora biti neparan broj [inlmath]\longrightarrow[/inlmath]
[dispmath]a=2k+1[/dispmath]
[dispmath]10^n=\frac{(2k+1+3)}{2}\cdot\frac{(2k+1-3)}{2}[/dispmath][dispmath]10^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath]
[inlmath]10[/inlmath] mozemo dobiti samo kao proizvod 2 kombinacije brojeva...
[dispmath]10^n\cdot1^n\mbox{ ili }5^n\cdot2^n[/dispmath]
a odmah se moze logicki zakljuciti da ne postoji takvo [inlmath]k[/inlmath] da bi ovaj proizvod imao oblik [inlmath]1^n\cdot10^n[/inlmath]
[dispmath]2^n\cdot5^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath][dispmath]2^n=k-1[/dispmath][dispmath]5^n=k+2[/dispmath]
krenucemo od predpostavke da se ovaj sistem moze rijesiti kada je [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]2=k-1;\;k=3[/dispmath][dispmath]5=k+2;\;k=3[/dispmath]
i sada vidimo da povecanjem [inlmath]n[/inlmath], ovaj sistem postaje nemoguc za rijesiti... kako [inlmath]n[/inlmath] raste, vrijednost obije jednacine ce se povecavati, ali ne i ravnomjerno, sto znaci da vise nikad nece postojati rijesenje tog sistema sem kad je [inlmath]n=1[/inlmath]
na primjer:
[dispmath]\underline{n=2}[/dispmath][dispmath]4=k-1\\
25=5+2[/dispmath]
[dispmath]\underline{n=3}[/dispmath][dispmath]8=k+1\\
125=k+2[/dispmath]
ovi sistemi nemaju rijesenja
i time smo, nadam se, ovo i dokazali...