Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Petak, 23. Januar 2015, 22:25

Nice try. :) :good:

Ali, mislim da imaš grešku – kada desnu stranu, [inlmath]k^2-9[/inlmath], podelimo sa [inlmath]4[/inlmath], dobićemo [inlmath]\frac{k^2-9}{4}[/inlmath], a to nije isto što i [inlmath]k^2-\frac{9}{4}[/inlmath] kako si ti dobio.

Nema veze, super je što si pokušao. :) I dalje tragamo za rešenjem...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Sinisa » Nedelja, 25. Januar 2015, 23:34

[dispmath]\begin{array}{ll}
n=0\;\;49\\
& +49+360\\
n=1\;\;409\\
& +49+360+3600\\
n=2\;\;4009\\
& +49+360+3600+36000\\
n=3\;\;40009\\
\ldots
\end{array}[/dispmath]
ovako ide ovaj niz pa na dalje sve :D mozda ovo da nekome da ideju, mi u skoli jos uvijek nismo ucili operacije sa nizovima...

srecno sa ovim zadatkom, izgleda da je tezak :D
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 26. Januar 2015, 01:18, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latex-a
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

  • +1

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Sinisa » Utorak, 27. Januar 2015, 15:34

[dispmath]4\cdot10^n+9=a^2[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=a^2-9[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(a+3)\cdot(a-3)[/dispmath][dispmath]10^n=\frac{(a+3)}{2}\cdot\frac{(a-3)}{2}[/dispmath]
[inlmath]a[/inlmath] mora biti neparan broj [inlmath]\longrightarrow[/inlmath]
[dispmath]a=2k+1[/dispmath]
[dispmath]10^n=\frac{(2k+1+3)}{2}\cdot\frac{(2k+1-3)}{2}[/dispmath][dispmath]10^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath]
[inlmath]10[/inlmath] mozemo dobiti samo kao proizvod 2 kombinacije brojeva...
[dispmath]10^n\cdot1^n\mbox{ ili }5^n\cdot2^n[/dispmath]
a odmah se moze logicki zakljuciti da ne postoji takvo [inlmath]k[/inlmath] da bi ovaj proizvod imao oblik [inlmath]1^n\cdot10^n[/inlmath]
[dispmath]2^n\cdot5^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath][dispmath]2^n=k-1[/dispmath][dispmath]5^n=k+2[/dispmath]
krenucemo od predpostavke da se ovaj sistem moze rijesiti kada je [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]2=k-1;\;k=3[/dispmath][dispmath]5=k+2;\;k=3[/dispmath]
i sada vidimo da povecanjem [inlmath]n[/inlmath], ovaj sistem postaje nemoguc za rijesiti... kako [inlmath]n[/inlmath] raste, vrijednost obije jednacine ce se povecavati, ali ne i ravnomjerno, sto znaci da vise nikad nece postojati rijesenje tog sistema sem kad je [inlmath]n=1[/inlmath]

na primjer:

[dispmath]\underline{n=2}[/dispmath][dispmath]4=k-1\\
25=5+2[/dispmath]
[dispmath]\underline{n=3}[/dispmath][dispmath]8=k+1\\
125=k+2[/dispmath]
ovi sistemi nemaju rijesenja :)
i time smo, nadam se, ovo i dokazali...
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Sreda, 28. Januar 2015, 02:12

Veoma zanimljiva ideja i vrlo verovatno se i radi na takav način. :thumbup: Svaka čast! :)

Jedino što me buni, to je ovaj korak:
Sinisa je napisao:[dispmath]2^n\cdot5^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath][dispmath]2^n=k-1[/dispmath][dispmath]5^n=k+2[/dispmath]

Iz [inlmath]2^n\cdot5^n=\left(k+2\right)\cdot\left(k-1\right)[/inlmath] ne sledi da mora biti [inlmath]\begin{matrix}2^n=k-1\\5^n=k+2\end{matrix}[/inlmath]. Može biti i, recimo, [inlmath]\begin{matrix}2^n\cdot5=k-1\\5^{n-1}=k+2\end{matrix}[/inlmath], ili [inlmath]\begin{matrix}2^n\cdot5^2=k-1\\5^{n-2}=k+2\end{matrix}[/inlmath] itd...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Sinisa » Sreda, 28. Januar 2015, 06:54

ali kada napise u tom obliku, dok [inlmath]n[/inlmath] ne bude vece u konkretnom slucaju od [inlmath]2[/inlmath] ispada da je [inlmath]k+2<k-1[/inlmath] a [inlmath]k[/inlmath] ne moze biti negativan broj
pa ako vidis da ti taj oblik nije tacan ni za ono gdje bi trebao da bude tacan ([inlmath]n=1[/inlmath]), mislim da je logicno da nikad nije ni tacan, valjda..
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Sreda, 28. Januar 2015, 08:15

Nisam siguran da li sam dobro razumeo šta želiš reći... Ali, ako bismo uzeli da je [inlmath]\begin{matrix}2^n\cdot5=k-1\\5^{n-1}=k+2\end{matrix}[/inlmath], tada bismo mogli pokazati da je već za [inlmath]n\ge4[/inlmath] ispunjeno da je [inlmath]k-1<k+2[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Sinisa » Sreda, 28. Januar 2015, 13:38

da, to je tacno... ali pri pisanju jednacina na taj nacin dobicemo 2 potpuno razlicita [inlmath]k[/inlmath], sada cu to i dokazati
[dispmath]5^n\cdot5^{-x}=k+2[/dispmath][dispmath]k=5^n\cdot5^{-x}-2[/dispmath]
znaci [inlmath]k[/inlmath] se zavrsava sa cifrom [inlmath]3[/inlmath]
[dispmath]2^n\cdot5^x=k-1[/dispmath][dispmath]k=2^n\cdot5^x+1[/dispmath]
[inlmath]k[/inlmath] se zavrsava uvijek sa cifrom [inlmath]1[/inlmath]

isto se dobije i kada uvrstis
[dispmath]2^n\cdot2^{-x}=k-1[/dispmath]
nadam se da je sada ovim potvrdjeno moje rijesenje :)
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Sreda, 28. Januar 2015, 14:47

E, sad možemo reći da imamo kompletiran dokaz koji se traži. Svaka čast još jednom. :respekt:

Čak, za slučaj [inlmath]2^n\cdot2^{-x}=k-1[/inlmath] nije ni potrebno na ovaj način dokazivati da je nemoguć, jer odmah vidimo da bi tada bilo [inlmath]2^x\cdot5^n=k+2[/inlmath], što znači da bi i [inlmath]k-1[/inlmath] i [inlmath]k+2[/inlmath], koji su očigledno različite parnosti, morali biti parni. Kontradikcija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Sinisa » Sreda, 28. Januar 2015, 16:05

Nakon tacno dvije godine zadatak je napokon rijesen :)
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Gamma » Četvrtak, 29. Januar 2015, 03:43

Evo imam i ja jedno slično rješenje.Kada se dobije taj sistem što je nemoguć za rješiti.Trebalo bi se i to nekako dokazati. Sigurno postoji način.Siniša kod tebe postoji to jedno rješenje dok izgleda kod mene ne postoji ni jedno.Čak taj tvoj način je nešto i duži od ovoga moga. Mada mora se i to nekako dokazati.Sada da sam to radio na takmičenju ne bih mogao tek tako zaključiti sistem ima jedno rješenje i više nema. Sve se uvijek mora obrazložiti i sve se to boduje.

Broj koji kvadriramo je [inlmath]a[/inlmath] njegov kvadrat završava se sa [inlmath]9[/inlmath]. To je moguće ako je on oblika [inlmath]a=k+3[/inlmath] ili [inlmath]a=k+7[/inlmath] uzimajući u obzir da [inlmath]k[/inlmath] mora biti paran broj(ne važi za sve parne brojeve).
[dispmath]4\cdot10^n+9=a^2[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=a^2-9[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(a+3)(a-3)[/dispmath]
za [inlmath]a=k+3[/inlmath] sistem nema rješenja
[dispmath]4\cdot10^n=(k+3+3)(k+3-3)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=k^2+6k[/dispmath]
isto tako i za [inlmath]a=k+7[/inlmath] dobije se da sistem nema rješenja
[dispmath]4\cdot10^n=(k+7+3)(k+7-3)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(k+10)(k+4)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=k^2+14k+40[/dispmath]
Ja sam ovo ovako radio. I ne znam baš koliko je ovo pravilan način rješavanja. Jednostavno nisam siguran.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 20 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs