Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Nina » Sreda, 30. Januar 2013, 19:38

Dokazati da broj [inlmath]4000\dots 09[/inlmath] nije potpun kvadrat (pri proizvoljnom broju nula pocevsi sa jednom)
Nina  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Četvrtak, 31. Januar 2013, 10:49

Razmišljao sam, ali još uvek nemam rešenje.
Ideja mi je bila da za taj broj, [inlmath]4\cdot 10^n+9,\;n\in\mathbb{N},\;n\ge 2[/inlmath] prvo pretpostavim suprotno, tj. da jeste potpun kvadrat, ne bih li došao do kontradikcije. To bi značilo da je [inlmath]4\cdot 10^n+9=k^2,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath], pa samim tim i da je [inlmath]4\cdot 10^n=k^2-9[/inlmath], tj. da je [inlmath]4\cdot 10^n=\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath]. I onda sam pokušavao da iz toga izvučem kontradikciju...
Međutim, nisam siguran da li je to ispravan put.
Razmisliću još malo, a možda još neko bude imao neki predlog za rešavanje?

Za koji je nivo ovaj zadatak, pretpostavljam da je neko takmičenje?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Nina » Četvrtak, 31. Januar 2013, 21:36

Jeste, za takmicenje je. :)
Nina  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod SandyMladjo » Utorak, 14. Maj 2013, 07:08

Mislim da sam mopronašla rješenje ovog prvog zadatka.

Naravno iskoristila sam to što je Daniel veća radio, možda sam došla do kontradikcije.

Znači, oblik je [inlmath]4\cdot 10^n=(k+3)(k-3)[/inlmath] gdje je [inlmath]n>1[/inlmath]. Za najmanji mogući [inlmath]n=2[/inlmath] izraz na lijevoj strani je djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath], kao što je to djeljiv i za svaki [inlmath]n>2[/inlmath], no to ne vrijedi za izraz na desnoj strani.

Naime [inlmath](k+3)(k-3)[/inlmath] je umnožak dva broja koji se razlikuju za [inlmath]6[/inlmath], pa takav jedan umnozak nikada ne može biti djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath], jer [inlmath]100=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5[/inlmath] i kao što vidimo broj [inlmath]100[/inlmath] možemo zapisato kao umnoške [inlmath]100=2\cdot 50,\:100=4\cdot 25,\:100=10\cdot 10,\:100=5\cdot 20[/inlmath] a razlika niti među koja dva faktora nije [inlmath]6[/inlmath].

Mislim da bi to mogla biti tražena kontradikcija, nisam baš sigurna, ali ja bi to tako napisala.

pozz
Dvije stvari su beskrajne: svemir i ljudska glupost. Albert Einstein
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Utorak, 14. Maj 2013, 07:38

Hm, za trenutak sam se i ja bio ponadao da zaista imamo rešenje ovog zadatka, ali, nažalost, izgleda da sam našao kontraprimer – za [inlmath]k=97[/inlmath] ili [inlmath]k=103[/inlmath] izraz [inlmath]\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath] će biti deljiv sa [inlmath]100[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod SandyMladjo » Utorak, 14. Maj 2013, 07:49

istina, nisam o tome razmišljala, i to sada svaki koji završava sa [inlmath]97[/inlmath] ili [inlmath]03[/inlmath]... trebalo bi onda provjeriti što se događa u tim brojevima, kada jeste djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath]
Dvije stvari su beskrajne: svemir i ljudska glupost. Albert Einstein
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod SandyMladjo » Utorak, 14. Maj 2013, 07:51

možda se može povezati sa ovom [inlmath]4[/inlmath]... jer ako je [inlmath]k=97[/inlmath], onda je umnožak [inlmath]100\cdot 94[/inlmath], tj [inlmath]9400[/inlmath] i kad ase on dijeli sa [inlmath]100[/inlmath] ostane faktor [inlmath]94[/inlmath] koji nije djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath]... možda u tome ima nešto...
Dvije stvari su beskrajne: svemir i ljudska glupost. Albert Einstein
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Daniel » Utorak, 14. Maj 2013, 08:18

Drugim rečima, ispitati deljivost [inlmath]\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath] sa [inlmath]400[/inlmath]? Ima i za to kontraprimera, [inlmath]k=197,\;k=203,\;k=397,\;k=403\dots[/inlmath]

Zapravo, za bilo koji zadati broj [inlmath]l\;\left(l\in\mathbb{N}\right)[/inlmath] moguće je naći broj [inlmath]k[/inlmath] takav da je [inlmath]l\:\:|\:\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod SandyMladjo » Utorak, 14. Maj 2013, 08:43

mislim da tu s djeljivosti ne možemo napraviti puno, trebalo bi ispitati oblik broja [inlmath](k+3)(k-3)[/inlmath]... ako je točno sve prije kako smo pretpostavili on mora imati oblik [inlmath]4\cdot 10^l[/inlmath] gdje je [inlmath]l\in\mathbb{N}[/inlmath]

možda s tim može se nešto napraviti, ne znam...
Dvije stvari su beskrajne: svemir i ljudska glupost. Albert Einstein
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Dokazati da 4000...09 nije potpun kvadrat

Postod Sinisa » Petak, 23. Januar 2015, 21:41

Daniel je napisao:Ideja mi je bila da za taj broj, [inlmath]4\cdot 10^n+9,\;n\in\mathbb{N},\;n\ge 2[/inlmath] prvo pretpostavim suprotno, tj. da jeste potpun kvadrat, ne bih li došao do kontradikcije. To bi značilo da je [inlmath]4\cdot 10^n+9=k^2,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath], pa samim tim i da je [inlmath]4\cdot 10^n=k^2-9[/inlmath], tj. da je [inlmath]4\cdot 10^n=\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath]. I onda sam pokušavao da iz toga izvučem kontradikciju...

[inlmath]10^n[/inlmath] je uvijek cio broj... Kada obije strane podjelis sa [inlmath]4[/inlmath] dobices kontradikciju da je [inlmath]k^2[/inlmath] racionalan broj zato sto će biti [inlmath]\text{cio broj}=k^2-\frac{9}{4}[/inlmath] a to bi trebala biti kontradikcija sa onim "potpunim kvadratom". Znači da [inlmath]k^2=m+\frac{1}{4}\quad m\in\mathbb{N}[/inlmath].

nadam se da ovo nije provala :D
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 23. Januar 2015, 22:22, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklonjen suvišan citat
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Sledeća

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs