Stranica 1 od 1

Predstaviti razlomak kao zbir tri razlomka

PostPoslato: Sreda, 02. Decembar 2015, 22:27
od Akke
Razlomak [inlmath]337\over140[/inlmath] prikazati kao zbir tri razlomka sa jednocifrenim imeniocima, pri cemu su brojioci prirodni brojevi. Detaljno obrazloziti postupak.
Najpre sam [inlmath]140[/inlmath] rastavio na cinioce i dobio:
[dispmath]\frac{337}{140}=\frac{x}{4}+\frac{y}{5}+\frac{z}{7}=\frac{35x+28y+20z}{140}[/dispmath][dispmath]35x+28y+20z=337[/dispmath]
I tu sam stao. Na kraju treba da se dobije [inlmath]\frac{337}{140}=\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{6}{7}[/inlmath]
U resenju ima ukratko i objasnjeno ali mi nije bas jasno kako su oni dosli do nekih rezultata ali to cu kasnije postaviti prvo bi' voleo da vidim kako bi ste vi resili ovaj problem.

Re: Predstaviti razlomak kao zbir tri razlomka

PostPoslato: Četvrtak, 03. Decembar 2015, 09:21
od Daniel
Pa, ja bih ovako započeo: u jednačini [inlmath]35x+28y+20z=337[/inlmath] desna strana je neparna, mora biti neparna i leva strana. Kako su sabirci [inlmath]28y[/inlmath] i [inlmath]20z[/inlmath] parni, sabirak [inlmath]35x[/inlmath] mora biti neparan da bi čitav zbir bio neparan, prema tome, [inlmath]x[/inlmath] mora biti neparno.

Zatim jednačinu napišemo u obliku [inlmath]35x=337-28y-20z[/inlmath]. Pošto su [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] prirodni brojevi, odatle je [inlmath]y\ge1[/inlmath] i [inlmath]z\ge1[/inlmath], pa je [inlmath]28y\ge28[/inlmath] i [inlmath]20z\ge20[/inlmath], a odatle [inlmath]337-28y-20z\le337-28-20=289[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]35x\le289[/inlmath], to jest [inlmath]\displaystyle x\le\frac{289}{35}[/inlmath], a odatle [inlmath]x\le8[/inlmath]. Pošto [inlmath]x[/inlmath] mora biti neparno, moguće vrednosti [inlmath]x[/inlmath] smo sveli na [inlmath]\left\{1,3,5,7\right\}[/inlmath].

Sada jednačinu [inlmath]35x+28y+20z=337[/inlmath] napišemo u obliku
[dispmath]4\left(7y+5z\right)=337-35x[/dispmath]
što znači da desna strana mora biti deljiva sa [inlmath]4[/inlmath], a to neće biti slučaj za [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=5[/inlmath]. Prema tome, broj mogućih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] suzili smo na [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=7[/inlmath]...

Naravno, nije ovime još gotovo, ali toliko od mene zasad. :) Možemo li sad videti to rešenje koje je napisano u knjizi? :)

Re: Predstaviti razlomak kao zbir tri razlomka

PostPoslato: Četvrtak, 03. Decembar 2015, 20:58
od Akke
Ovako kaze u resenju. :)
Iz
[dispmath]35a+28b+20c=337[/dispmath]
sledi:
[dispmath]b\leq\frac{35a+28b+20c}{28}[/dispmath][dispmath]b\leq10[/dispmath]
" Posto je zbir [inlmath]35a+20c[/inlmath] deljiv sa [inlmath]5[/inlmath], mora biti [inlmath]28b-2[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath] (nemam pojma kako su dosli do toga :) ), pa je [inlmath]b=4[/inlmath] ili [inlmath]b=9[/inlmath].
Ako je [inlmath]b=4[/inlmath], dobijamo [inlmath]7a+4c=45[/inlmath], odakle se nalazi [inlmath]a=3,\;c=6[/inlmath], a ako je [inlmath]b=9[/inlmath], dobijamo [inlmath]7a+4c=17\;\Rightarrow[/inlmath] ova jednacina nema resenja.
Dakle, [inlmath]\frac{337}{140}=\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{6}{7}[/inlmath] ".
Ako neko moze da mi razjasni bio bih mu zahvalan.

Re: Predstaviti razlomak kao zbir tri razlomka

PostPoslato: Petak, 04. Decembar 2015, 02:49
od Daniel
Akke je napisao:Iz
[dispmath]35a+28b+20c=337[/dispmath]
sledi:
[dispmath]b\leq\frac{35a+28b+20c}{28}[/dispmath][dispmath]b\leq10[/dispmath]

Si siguran da tako piše u rešenju? Ako tako piše, onda je to greška, treba da bude
[dispmath]b=\frac{337-35a-20c}{28}[/dispmath]
pa je onda odatle, pošto je [inlmath]a\ge1[/inlmath] i [inlmath]c\ge1[/inlmath] (u prethodnom postu sam to već objašnjavao),
[dispmath]b\le\frac{337-35-20}{28}\\
b\le\frac{282}{28}\\
b\le10[/dispmath]
Akke je napisao:" Posto je zbir [inlmath]35a+20c[/inlmath] deljiv sa [inlmath]5[/inlmath], mora biti [inlmath]28b-2[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath] (nemam pojma kako su dosli do toga :) ),

Jednačini [inlmath]35a+28b+20c=337[/inlmath] možemo oduzeti dvojku i na levoj i na desnoj strani, čime dobijamo
[dispmath]35a+28b+20c-2=337-2\\
35a+\left(28b-2\right)+20c=335[/dispmath]
i, pošto je desna strana deljiva sa [inlmath]5[/inlmath], mora biti deljiva sa [inlmath]5[/inlmath] i leva strana. Pošto su na levoj strani sabirci [inlmath]35a[/inlmath] i [inlmath]20c[/inlmath] deljivi sa [inlmath]5[/inlmath], potrebno je da i treći sabirak, [inlmath]\left(28b-2\right)[/inlmath], bude deljiv sa [inlmath]5[/inlmath], kako bi i njihov zbir, tj. cela leva strana jednačine, bila deljiva sa [inlmath]5[/inlmath].

Akke je napisao:pa je [inlmath]b=4[/inlmath] ili [inlmath]b=9[/inlmath].

Pošto je [inlmath]28b-2[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], možemo to napisati kao [inlmath]28b-2=5k,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]. To je, opet, isto što i [inlmath]28b=5k+2[/inlmath]. Pošto brojevi [inlmath]5k[/inlmath] mogu imati ili nulu ili peticu kao poslednju cifru, brojevi [inlmath]5k+2[/inlmath] mogu kao poslednju cifru imati dvojku ili sedmicu. Dakle, poslednja cifra broja [inlmath]28b[/inlmath] je ili [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath]. To se može desiti ili kada je [inlmath]b=4[/inlmath] (u tom slučaju poslednja cifra broja [inlmath]28b[/inlmath] je [inlmath]2[/inlmath]), ili kada je [inlmath]b=9[/inlmath] (u tom slučaju poslednja cifra broja [inlmath]28b[/inlmath] je [inlmath]2[/inlmath]).

Akke je napisao:Ako je [inlmath]b=4[/inlmath], dobijamo [inlmath]7a+4c=45[/inlmath], odakle se nalazi [inlmath]a=3,\;c=6[/inlmath],

Slično kao što sam napisao u prethodnom postu. Znači, uvrstimo [inlmath]b=4[/inlmath] u početnu jednačinu [inlmath]35a+28b+20c=337[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]35a+28\cdot4+20c=337\\
35a+20c=225\quad/:5\\
7a+4c=45[/dispmath]
Pošto je desna strana neparna, mora biti i leva. Pošto je na levoj strani sabirak [inlmath]4c[/inlmath] paran, sabirak [inlmath]7a[/inlmath] mora biti neparan, kako bi leva strana bila neparna. Znači, [inlmath]a[/inlmath] mora biti neparno.
Takođe, pošto je [inlmath]7a=45-4c[/inlmath], a pošto je [inlmath]c\ge1[/inlmath] tada je [inlmath]45-4c\le45-4[/inlmath] tj. [inlmath]45-4c\le41[/inlmath], a odatle [inlmath]7a\le41\;\Rightarrow\;a\le\frac{41}{7}\;\Rightarrow\;a\le5[/inlmath]. Pošto [inlmath]a[/inlmath] mora biti neparno, izbor je sužen na [inlmath]a\in\left\{1,3,5\right\}[/inlmath]. Uvrštavanjem svake od te tri vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] lako se nađe koji slučaj daje rešenja po [inlmath]c[/inlmath].

Akke je napisao:a ako je [inlmath]b=9[/inlmath], dobijamo [inlmath]7a+4c=17\;\Rightarrow[/inlmath] ova jednacina nema resenja.

Isti princip kao i malopre, samo je postupak još lakši. To prepuštam tebi, kao vežbu.

Ako treba još nešto, viči. :)

Re: Predstaviti razlomak kao zbir tri razlomka

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Decembar 2015, 14:56
od Akke
Hvala lepo :)
Sad mi je jasno zasto su oduzeli [inlmath]2[/inlmath].