Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ARITMETIKA

Broj 142857

Broj 142857

Postod pentagram142857 » Utorak, 08. Decembar 2015, 16:45

Cifre broja [inlmath]142857[/inlmath] su [inlmath]6[/inlmath] ponavljajucih cifara broja [inlmath]\frac{1}{7}=0.142857142857\ldots[/inlmath]. Ovaj broj mozemo da pomnozimo sa brojevima [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath] bez koriscenja digitrona. Dovoljno je samo da redosled ispisivanja cifara ne pocne od [inlmath]1[/inlmath] vec od neke druge cifre ovog broja:
[dispmath]2\cdot142857=285714[/dispmath][dispmath]3\cdot142857=428571[/dispmath][dispmath]4\cdot142857=571428[/dispmath][dispmath]5\cdot142857=714285[/dispmath][dispmath]6\cdot142857=857142[/dispmath]
Kada se mnozi sa [inlmath]7[/inlmath] dobija se [inlmath]999999[/inlmath].
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 43 puta
Pohvaljen: 120 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj 142857

Postod Corba248 » Četvrtak, 25. Maj 2017, 12:21

Ovakvi brojevi se nazivaju ciklični brojevi. Ciklični brojevi su brojevi koji sadrže [inlmath]n-1[/inlmath] cifara i pri množenju sa [inlmath]1, 2, 3,\ldots n-1[/inlmath] kao rezultat daju permutaciju početnih cifara. Broj [inlmath]142857[/inlmath] možemo množiti i drugim brojevima kako bismo dobili broj koji predstavlja permutaciju njegovih cifara na sledeći način:
Pomnožimo ga sa [inlmath]17[/inlmath]:
[dispmath]142857\cdot 17=2428569[/dispmath]
Sada ćemo na šestocifreni završetak ovog broja dodati broj koji prethodi tom šestocifrenom završetku, u ovom slučaju to je broj [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]428569+2=\enclose{box}{428571}[/dispmath]
Ovo možemo uraditi i sa bilo kojim brojem koji nije deljiv sa [inlmath]7[/inlmath]:
[dispmath]142857\cdot 587414=83916201798 \\
201798+83916=\enclose{box}{285714}[/dispmath]
Ukoliko bismo izabrali broj deljiv sa [inlmath]7[/inlmath] dobili bismo [inlmath]999999[/inlmath]:
[dispmath]142857\cdot 105 =14999985 \\
999985+14=\enclose{box}{999999}[/dispmath]
Ovo potiče iz oblika cikličnih brojeva. Oni su oblika:
[dispmath]\frac{10^{p-1}-1}{p}[/dispmath]
gde je [inlmath]p[/inlmath] prost broj.
Naravno, neće svaki prost broj uvršten u ovu formulu dati cikličan broj, ali manje-više svaki treći hoće. Broj [inlmath]142857[/inlmath] je zapravo:[dispmath]142857=\frac{10^{7-1}-1}{7}[/dispmath]
Dakle, za [inlmath]p=7[/inlmath]. Naredni bi bio za [inlmath]p=17[/inlmath] ([inlmath]0588235294117647[/inlmath], odnosno ponavljajuće decimale broja [inlmath]\frac{1}{17}[/inlmath]) pa [inlmath]19,23,29,47,\ldots[/inlmath]. Broj [inlmath]142857[/inlmath] je jedini cikličan broj koji ne počinje nulom. Postoji beskonačno mnogo cikličnih brojeva. Iz ove formule se može naslutiti zbog čega se pri množenju brojem deljivim sa [inlmath]7[/inlmath] kao rezultat dobija [inlmath]999999[/inlmath].
Ciklični brojevi se javljaju i u drugim bazama, po sledećoj formuli:[dispmath]\frac{b^{p-1}-1}{p}[/dispmath]
gde [inlmath]b[/inlmath] predstavlja bazu u kojoj je taj broj cikličan.
Još neke osobine broja [inlmath]142857[/inlmath]:[dispmath]14+28+57=99 \\
142+857=999 \\
1428+5714+2857=9999 \quad (\mathrm{svaka\; cifra\; se\; mora\; ponavljati\; isti\; broj\; puta}) \\
857^2-142^2=714285 \\[/dispmath]
Prve tri od ovih osobina su zapravo specijalan slučaj Midine teoreme.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 350 puta


Povratak na ARITMETIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Septembar 2020, 06:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs