Stranica 1 od 1

„Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Utorak, 21. Maj 2013, 14:45
od Daniel
Ovo je nekada (i u vreme kad sam ja bio osnovac) bilo obavezno gradivo matematike za [inlmath]VII[/inlmath] razred, ali, kako čuh od prijatelja pre neki dan, u međuvremenu je izbačeno iz nastavnog plana za škole u Srbiji, što je, po meni, velika greška.

Za sve one koji su zbog toga ostali uskraćeni da saznaju za ovaj zanimljiv algoritam, evo ga priloženog ovde.

Uzmimo da želimo da nađemo kvadratni koren broja [inlmath]2754,1504[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{2754,1504}[/inlmath]

Broj izdelimo na klase od po dve cifre, od decimalnog zareza nalevo, isto tako i od decimalnog zareza nadesno:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=[/inlmath]

Prvo posmatramo par cifara krajnje leve klase, [inlmath]27[/inlmath]. Postavljamo pitanje – koji je najveći prirodan broj koji, dignut na kvadrat, daje broj koji je manji ili jednak [inlmath]27[/inlmath]? To je broj [inlmath]5[/inlmath], jer on dignut na kvadrat daje [inlmath]25[/inlmath], koji je manji od [inlmath]27[/inlmath] (jer već sledeći prirodan broj, [inlmath]6[/inlmath], dignut na kvadrat bi dao [inlmath]36[/inlmath], što je veće od [inlmath]27[/inlmath]).
Desno od znaka jednakosti pišemo taj broj, tj. [inlmath]5[/inlmath], a ispod para cifara [inlmath]27[/inlmath] pišemo kvadrat dobijenog broja, tj. [inlmath]25[/inlmath].

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=5[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}25[/inlmath]

Sada od [inlmath]27[/inlmath] oduzimamo [inlmath]25[/inlmath] i rezultat, [inlmath]2[/inlmath], zapisujemo ispod; u produžetku dopisujemo dve cifre iz sledeće klase, u ovom slučaju [inlmath]54[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=5[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54[/inlmath]

zatim dopisujemo znak jednako, a desno od njega dosadašnji rezultat, [inlmath]5[/inlmath], pomnožen sa [inlmath]2[/inlmath], a to je [inlmath]10[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=5[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\_\cdot\_[/inlmath]

i postavljamo pitanje: koja je najveća cifra koja može biti dopisana broju [inlmath]10[/inlmath], pa da tako dobijeni broj, pomnožen tom cifrom, daje rezultat koji je manji ili jednak broju [inlmath]254[/inlmath]?
Odgovor je [inlmath]2[/inlmath], jer važi da je [inlmath]102\cdot 2=204\le 254[/inlmath], dok već za prvu sledeću cifru, [inlmath]3[/inlmath], to ne bi važilo: [inlmath]103\cdot 3=309[/inlmath], a to ne bi bilo manje ili jednako [inlmath]254[/inlmath].
Prema tome, u prazna polja upisujemo cifru [inlmath]2[/inlmath]; takođe, u rezultat, desno od cifre [inlmath]5[/inlmath], dopisujemo [inlmath]2[/inlmath] i, pošto smo „obradili“ sve klase od po dve cifre levo od decimalnog zareza, sada posle ove dvojke u rezultatu pišemo decimalni zarez:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]

Sada izvršimo množenje [inlmath]102\cdot 2[/inlmath] i rezultat, [inlmath]204[/inlmath], zapišemo ispod [inlmath]254[/inlmath]; zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50[/inlmath]

Dopisujemo par cifara iz sledeće klase (zanemarujući decimalni zarez), a to je [inlmath]15[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15[/inlmath]

zatim dopisujemo znak jednako, a desno od njega dosadašnji rezultat, [inlmath]52[/inlmath], pomnožen sa [inlmath]2[/inlmath], a to je [inlmath]104[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\_\cdot\_[/inlmath]

i postavljamo slično pitanje kao malopre: koja je najveća cifra koja može biti dopisana broju [inlmath]104[/inlmath], pa da tako dobijeni broj, pomnožen tom cifrom, daje rezultat koji je manji ili jednak broju [inlmath]5015[/inlmath]?
Odgovor je [inlmath]4[/inlmath], jer važi da je [inlmath]1044\cdot 4=4176\le 5015[/inlmath], dok već za prvu sledeću cifru, [inlmath]5[/inlmath], to ne bi važilo: [inlmath]1045\cdot 5=5225[/inlmath], a to ne bi bilo manje ili jednako [inlmath]5015[/inlmath].
Prema tome, u prazna polja upisujemo cifru [inlmath]4[/inlmath]; takođe, u rezultat, desno od cifara [inlmath]52[/inlmath] i decimalnog zareza, dopisujemo [inlmath]4[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\underline 4\cdot\underline 4[/inlmath]

Sada izvršimo množenje [inlmath]1044\cdot 4[/inlmath] i rezultat, [inlmath]4176[/inlmath], zapišemo ispod [inlmath]5015[/inlmath]; zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\underline 4\cdot\underline 4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}\underline{41\phantom{2!}76}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|4}8\phantom{2!}39[/inlmath]

Dopisujemo par cifara iz sledeće klase, a to je [inlmath]04[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\underline 4\cdot\underline 4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}\underline{41\phantom{2!}76}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|4}8\phantom{2!}39\phantom{|}04[/inlmath]

zatim dopisujemo znak jednako, a desno od njega dosadašnji rezultat (zanemarujući decimalni zarez), [inlmath]524[/inlmath], pomnožen sa [inlmath]2[/inlmath], a to je [inlmath]1048[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\underline 4\cdot\underline 4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}\underline{41\phantom{2!}76}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|4}8\phantom{2!}39\phantom{|}04=1048\_\cdot\_[/inlmath]

i opet postavljamo pitanje: koja je najveća cifra koja može biti dopisana broju [inlmath]1048[/inlmath], pa da tako dobijeni broj, pomnožen tom cifrom, daje rezultat koji je manji ili jednak broju [inlmath]83904[/inlmath]?
Odgovor je [inlmath]8[/inlmath], pri čemu broj [inlmath]10488[/inlmath] pomnožen cifrom [inlmath]8[/inlmath] daje tačno broj [inlmath]83904[/inlmath].
Prema tome, u prazna polja upisujemo cifru [inlmath]8[/inlmath]; takođe, u rezultat, desno od [inlmath]52,4[/inlmath], dopisujemo [inlmath]8[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,48[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\underline 4\cdot\underline 4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}\underline{41\phantom{2!}76}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|4}8\phantom{2!}39\phantom{|}04=1048\underline 8\cdot\underline 8[/inlmath]

Sada izvršimo množenje [inlmath]10488\cdot 8[/inlmath] i rezultat, [inlmath]83904[/inlmath], zapišemo ispod [inlmath]83904[/inlmath]; zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva, čime kao rezulat dobijamo, naravno, nulu:

[inlmath]\sqrt{27|54,|15|04}=52,48[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!}\underline{25}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}2\phantom{|}54=10\underline 2\cdot\underline 2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!2}\underline{2\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}50\phantom{2!}15=104\underline 4\cdot\underline 4[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|}\underline{41\phantom{2!}76}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|4}8\phantom{2!}39\phantom{|}04=1048\underline 8\cdot\underline 8[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|4}\underline{8\phantom{2!}39\phantom{|}04}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{!!!22|482!39|0}0[/inlmath]

Pošto smo oduzimanjem dobili nulu, postupak je završen. Traženi rezultat je [inlmath]52,48[/inlmath].


U slučaju da posle iskorišćenja svih cifara potkorene veličine ne dobijemo nulu prilikom oduzimanja, postupak ponavljamo tako što na broj čiji koren tražimo dopisujemo decimalne nule, koje, takođe, delimo u klase od po dve. Postupak ponavljamo ili dok kao rezultat oduzimanja ne dobijemo nulu, ili do neke zadovoljavajuće tačnosti.

Na primer, koren broja [inlmath]3[/inlmath] (za koji znamo da će biti iracionalan) dobićemo tako što iza decimalnog zareza dopišemo niz nula i izdelimo ga u klase od po dve nule:

[inlmath]\sqrt{3,|00|00|00|00|\cdots}=\:[/inlmath]

I algoritam ponavljamo dok ne dobijemo rezultat s onolikim brojem decimalnih cifara koji će zadovoljiti tačnost koju tražimo.

Re: „Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Sreda, 23. Oktobar 2013, 21:05
od snow
Svaka cast. Lepo objasnjeno

Re: „Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Sreda, 18. Mart 2015, 01:26
od Gamma
Evo pogledao sam ovu temu i koliko vidim Daniele preskočio si dokaz,samo si objasnio postupak korijenovanja.Ima jedna stvar koja me malo zbunjuje. To je oko dijeljenja broja na klase po dvije cifre sa desna na lijevo.Imam ja svoj neki zaključak koji sam donio preko ovoga dokazivanja mada ni za njega nisam siguran da je najbolji.Možda postoji još bolje objašnjenje.Znači Broj cifara broja iz kojega vadimo korijen mora bili duplo manji ili još manji za jedan od broja cifara broja koji ćemo dobiti kao rezultat.Isto tako kada oduzimam nekako nelogično je da ostane 1 cifra na kraju koja se spušta jer bi tada ostatak bio uvijek negativan.
Kvadrat dvocifrenog broja:
[dispmath](10x+y)^2=100x^2+20xy+y^2=100x^2+(2\cdot10x+y)y[/dispmath]
Kvadrat trocifrenog broja:
[dispmath](100x+10y+z)^2=10000x^2+2\cdot1000xy+100y^2+2\cdot10yz+2\cdot100xz+z^2=\\
=10000x^2+(2\cdot1000x+100y)y+(2\cdot100x+2\cdot10y+z)z[/dispmath]
Sada ne znam postoji li neki dokaz za opšti slučaj ali na osnovu ovoga može se dosta toga zaključiti.

Re: „Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Petak, 10. Jul 2015, 17:35
od Sinus Versus
Prvi put čujem za ovo, a baš je fora algoritam. :) Hvala, Daniele!

Re: „Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Subota, 11. Jul 2015, 14:44
od desideri
Ovako se nekada radilo po osnovnim školama... I ja sam ovo učio.
Nije čudno (bar za mene) što je ova Danielova tema najviralnija na forumu, ako me razumete.
Izbačene su ovakve "ručne" metode koje su, po meni, sjajne za razvijanje čisto matematičkog načina razmišljanja iz programa obrazovanja za osnovne škole :(
Eto, imate na Matemaniji, da se ne zaboravi.
Daniel, :thumbup:
Kalkulatori, Wolfram, Excel... :thumbdown:
p.s. Nadam se da se razumemo, nemam ja ništa protiv savremenih softverskih paketa i pomagala svake vrste. No, kako ovo ide, uskoro decu ni tablici množenja neće učiti :(
p.p.s Daniel,
možda nije loše (moj predlog) zaključati ovu temu a recimo moj post premestiti u Odmorište (ili sve postove iza tvog) pa tamo nastaviti diskusiju?

Re: „Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Februar 2019, 12:38
od teavukcevic
Ovo je beskorisno . Uopste ne deluje na broju 620

Re: „Ručno“ izračunavanje kvadratnog korena

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Februar 2019, 18:55
od Daniel
Kad želiš da osporiš neki postupak (što je sasvim legitimno u matematici i, uopšte, u bilo kojoj prirodnoj nauci), onda se očekuje da to potkrepiš nekim svojim dokazom ili postupkom.
Ovako, kad samo kažeš „ovo je beskorisno“, to se može okarakterisati kao trolovanje.
Dakle, ukoliko želiš odgovor, izvoli pokazati svoju primenu „beskorisnog“ postupka na izračunavanje [inlmath]\sqrt{620}[/inlmath].