-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Milovan za post:
Daniel
Reputacija: 4.55%
od Milovan » Četvrtak, 22. Maj 2014, 10:33
Drugi način... Smena [inlmath]a=2+\sqrt{5}[/inlmath] i [inlmath]b=2-\sqrt{5}[/inlmath]
Tada je [inlmath]a-b=2\sqrt{5}[/inlmath], odnosno [inlmath]\sqrt{5}=\frac{a-b}{2}[/inlmath].
Otuda polazni izraz postaje:
[dispmath]\frac{a-b}{2}\left(b^8-a^8\right)=\frac{a-b}{2}\left(b^4-a^4\right)\left(b^4+a^4\right)=\frac{a-b}{2}(b-a)(b+a)\left(b^2+a^2\right)\left(b^4+a^4\right)[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{2}(a-b)^2(b+a)\left((b+a)^2-2ab\right)\left(\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\right)[/dispmath][dispmath]-\frac{a+b}{2}(a-b)^2\left((a+b)^2-2ab\right)\left(\left((a+b)^2-2ab\right)^2-2(ab)^2\right)[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]a+b=4[/inlmath], [inlmath]\frac{a+b}{2}=2[/inlmath], [inlmath]ab=-1[/inlmath] i [inlmath](a-b)^2=20[/inlmath] – sabiranjem, oduzimanjem i množenjem koje imamo u ovom obrascu svakako dobijamo ceo broj. Naravno, možemo to proveriti i uvrštavanjem vrednosti.