Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Beskonačni skupovi

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Beskonačni skupovi

Postod miros » Utorak, 12. Septembar 2017, 17:32

* MOD EDIT * Post izdvojen iz ove teme

Pozdrav. Može li netko pojasniti sljedeću definiciju "...parnih brojeva ima jednako mnogo kao i svih prirodnih brojeva. To očito ne vrijedi samo za parne brojeve; i skup svih brojeva koji su djeljivi s tisuću također ima jednako mnogo elemenata kao i skup [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath]." Izvor: http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node9.html
Nije mi jasno, kako će parnih brojeva biti jednako mnogo kao i prirodnih brojeva kada je skup [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] skup svih parnih i neparnih brojeva? :?
Pitanje koje je znalo biti u ispitima:
1. Kada kažemo da je skup beskonačan? Odgovor iz skripte: Za skup kažemo da je beskonačan ako je ekvipotentan sa svojim pravim podskupom. Što bi sada bio pravi podskup npr. skupa prirodnih brojeva i što je tu opće dokaz da je skup beskonačan?

2. Pokažite da je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] prebrojivo beskonačan. Odgovor iz skripte: Skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] je prebrojiv tj. [inlmath]\text{card }\mathbb{Z}=\mathbb{N}_0[/inlmath] jer postoji bijekcija [inlmath]f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Z}[/inlmath] dana sa [inlmath]f(1)=0[/inlmath], [inlmath]f(2)=1[/inlmath] itd. I ovdje mi također nije jasan odgovor iz skripte. Postoji li neki razumljiviji/jednostavniji odgovor?
miros  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Beskonačni skupovi

Postod Igor » Utorak, 12. Septembar 2017, 18:37

miros je napisao:Pozdrav. Može li netko pojasniti sljedeću definiciju "...parnih brojeva ima jednako mnogo kao i svih prirodnih brojeva. To očito ne vrijedi samo za parne brojeve; i skup svih brojeva koji su djeljivi s tisuću također ima jednako mnogo elemenata kao i skup [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath]."

Što se tiče ovog dela, to da prirodnih brojeva ima isto koliko i parnih prirodnih brojeva, može se pokazati na sledeći način:

Postoji bijekcija koja preslikava skup [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] u skup parnih prirodnih brojeva [inlmath]\mathbb{N}_p[/inlmath]. To je recimo funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}_p[/inlmath], definisana sa [inlmath]f(x)=2x[/inlmath]. Dakle, za svaki prirodan broj [inlmath]x[/inlmath] postoji broj [inlmath]2x[/inlmath], i samim tim ih ima jednako.
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor   ONLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 44
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 42 puta

  • +2

Re: Beskonačni skupovi

Postod Helga » Utorak, 12. Septembar 2017, 20:08

1. Pravi podskup skupa prirodnih brojeva bi, recimo, bio skup svih parnih prirodnih brojeva koji si pomenuo i taj skup ima isti kardinalitet kao i skup prirodnih brojeva (tj ekvipotentan je sa skupom prirodnih brojeva).
2. Elemenata prirodnih, kao i celih brojeva ima prebrojivo mnogo. Intuitivno receno mozes ih nabrajati redom (iako ih ima beskonacno mnogo). Realni brojevi su npr. neprebrojivi i tu ne mozes napraviti bijekciju izmedju prirodnih (ili celih) i realnih brojeva.

Jel te bijekcija ta buni? Ili sta tacno?
Helga  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Beskonačni skupovi

Postod miros » Sreda, 13. Septembar 2017, 00:37

Da, buni me i bijekcija u konkretnom primjeru. Bi li onda značilo da je skup prirodnih brojeva pravi podskup skupa cijelih brojeva jer su svi prirodni brojevi sadržani u cijelim brojevima, a svi cijeli brojevi nisu sadržani u prirodnim brojevima, a ujedno da imaju jednak broj članova? Malo mi je ovo sve nekako apstraktno i donekle nerazumljivo, u jednu ruku i nelogično. Npr. kako će skup cijelih brojeva imati jednak broj članova kao i skup prirodnih brojeva ako je skup prirodnih brojeva pravi podskup skupa cijelih brojeva? Ili sam pogrešno razumio...
miros  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Beskonačni skupovi

Postod Igor » Sreda, 13. Septembar 2017, 12:05

miros je napisao:...Npr. kako će skup cijelih brojeva imati jednak broj članova kao i skup prirodnih brojeva ako je skup prirodnih brojeva pravi podskup skupa cijelih brojeva?...

Dva skupa će imati jednak broj članova (biće ekvipotentni) ako i samo ako postoji bijekcija koja preslikava jedan skup u drugi. U ovom ovde slučaju to su skupovi [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], i postoji takva bijekcija:
[dispmath]f\left(k\right)=\begin{cases}
2k & k>0\\
\\
2|k| & k\le0
\end{cases}[/dispmath] Ova funkcija je bijekcija i preslikava skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] u skup [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], pa oni imaju jednak broj članova.
Možda te sve ovo buni, jer pokušavaš beskonačne skupove da shvatiš, i da o njima razmišljaš, kao o konačnim skupovima. Svojstvo ekvipotentnosti imaju samo beskonačni skupovi.
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor   ONLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 44
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 42 puta

  • +2

Re: Beskonačni skupovi

Postod Igor » Sreda, 13. Septembar 2017, 13:25

Igor je napisao:...Svojstvo ekvipotentnosti imaju samo beskonačni skupovi.

Moram samo da ispravim ovu konstataciju, koja zapravo nije tačna :) . Hteo sam da kažem da konačan skup ne može biti ekvipotentan, odnosno, ne može imati isti broj elemenata sa svojim pravim podskupom (to je svojstvo beskonačnih skupova). A inače dva konačna skupa mogu biti ekvipotentna, to je sasvim jasno, recimo dva konačna skupa sa po [inlmath]5[/inlmath] elemenata.
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor   ONLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 44
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 42 puta

  • +2

Re: Beskonačni skupovi

Postod Daniel » Sreda, 13. Septembar 2017, 16:43

Ja moram korigovati još i ovo:
Igor je napisao:i postoji takva bijekcija:
[dispmath]f\left(k\right)=\begin{cases}
2k & k>0\\
\\
2|k| & k\le0
\end{cases}[/dispmath]

Ovo nije bijekcija, jer za bilo koja dva broja suprotna po znaku a jednake apsolutne vrednosti, funkcija daje istu vrednost, npr. [inlmath]f(-1)=f(1)[/inlmath], [inlmath]f(-2)=f(2)[/inlmath] itd.

Primer bijekcije [inlmath]\mathbb{N}\to\mathbb{Z}[/inlmath] bila bi funkcija [inlmath]f(n)=\frac{1}{4}\Bigl[(-1)^n(2n-1)+1\Bigr][/inlmath], ili drugačije zapisana, [inlmath]f(n)=\begin{cases} \frac{n}{2}, & n\text{ parno}\\ \frac{1-n}{2}, & n\text{ neparno} \end{cases}[/inlmath]. Tabelarno, ta funkcija bi se mogla predstaviti ovako,
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline
f(n) & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline
\end{array}[/dispmath] a vizuelno, ovako:

bijekcija.png
bijekcija.png (1.16 KiB) Pogledano 65 puta
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 6574
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3423 puta
Pohvaljen: 3638 puta

  • +2

Re: Beskonačni skupovi

Postod Igor » Sreda, 13. Septembar 2017, 17:59

Hvala na ispravci. Hteo sam da napisem:
[dispmath]f\left(k\right)=\begin{cases}
2k & k>0\\
\\
2|k|+1 & k\le0
\end{cases}[/dispmath] Ovako napisana funkcija jeste bijekcija. Izostavio sam ovo [inlmath]+1[/inlmath] :) Izvinjavam se
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor   ONLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 44
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 42 puta

  • +1

Re: Beskonačni skupovi

Postod Daniel » Sreda, 13. Septembar 2017, 18:07

Jeste, i to je zapravo inverzna funkcija onoj funkciji koju sam ja naveo, tako da se i ova može vizuelno predstaviti na sličan način.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 6574
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3423 puta
Pohvaljen: 3638 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Septembar 2017, 16:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs