Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Osobine relacija

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Osobine relacija

Postod željko » Četvrtak, 06. Novembar 2014, 08:39

Dat je skup [inlmath]A=\{1,2,3,4\}[/inlmath] i relacija [inlmath]\rho[/inlmath] na [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]\rho[/inlmath] sa elementima [inlmath]\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,4)\}[/inlmath].
Ispitati da li relacija na skupu [inlmath]A[/inlmath] ima neka svojstva: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost, i ukoliko ih ima, navesti koja od njih.

Uradio sam ovako: Ta relacija ima svojstva: refleksivnost i simetričnost, (a za tranzitivnost ne znam)?
Pitanje: da li kod ove relacije, ako ne bi imali uređen par recimo [inlmath](1,1)[/inlmath], da li ona onda ne bi bila refleksivna?
I zašto je onda simetrična ako to ne važi za ceo taj skup.....?
Pomoć, Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Osobine relacija

Postod Miladin Jovic » Četvrtak, 06. Novembar 2014, 16:52

željko je napisao:Pitanje: da li kod ove relacije, ako ne bi imali uređen par recimo [inlmath](1,1)[/inlmath], da li ona onda ne bi bila refleksivna?

Ne bi tada bila refleksivna.
Takođe je i tranzitivna. Evo kako se to može možda najbolje proveriti:
[dispmath](\forall x,y,z)x\rho y\land y\rho z\;\Longrightarrow\;x\rho z[/dispmath] Uzmimo [inlmath]1\rho3z\land3\rho\;\Longrightarrow\;1\rho4[/inlmath] tj. [inlmath]\bot\land\top\;\Longrightarrow\;\bot[/inlmath] tj. [inlmath]\bot\;\Longrightarrow\;\bot[/inlmath] a to je tačno.
Postavljenjem uslova simetričnosti relacije i onda rešavanjem logičkih izraza zaključuje se da je i simetrična.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 243 puta
Pohvaljen: 123 puta

Re: Osobine relacija

Postod Daniel » Petak, 07. Novembar 2014, 01:21

Za refleksivnost se slažem s Miladinom – ako ne bismo imali uređen par [inlmath](1,1)[/inlmath], tada relacija ne bi bila refleksivna. Da bi relacija bila refleksivna, potrebno je da svaki element posmatranog skupa bude u relaciji sa samim sobom, tj. nije dovoljno da samo neki od elemenata budu u relaciji sa samim sobom, a neki ne. Dovoljno je da makar jedan element skupa ne bude u relaciji sa samim sobom pa da ta relacija ne bude refleksivna.

Što se tranzitivnosti tiče, ti si, Miladine, naveo samo jedan primer (pretpostavljam da implikacija koju si naveo, pravilno zapisana, treba da glasi [inlmath]1\rho3\land3\rho4\;\Longrightarrow\;1\rho4[/inlmath], ali time si ispitao tu implikaciju samo za tri elementa tog skupa, [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath], i to baš u tom poretku, iako iz same definicije tranzitivnosti sledi da ona mora biti zadovoljena za svaka tri elementa skupa i to u bilo kom poretku. Prema tome, ovo što si ispitao potrebno je ispitati i za ostale mogućnosti:
[dispmath]1\rho2\land2\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho1\\
1\rho2\land2\rho3\;\Longrightarrow\;1\rho3\\
1\rho2\land2\rho4\;\Longrightarrow\;1\rho4\\
1\rho3\land3\rho2\;\Longrightarrow\;1\rho2\\
\vdots[/dispmath] Tek ako su sve te implikacije tačne, tada relacija ima osobinu tranzitivnosti. Dovoljno je da samo jedna od tih implikacija bude netačna i relacija neće biti tranzitivna, pa makar i sve ostale implikacije bile tačne.

Za ovu konkretnu relaciju dobilo bi se da sve te implikacije jesu tačne, tj. da ona zaista jeste tranzitivna.

Za simetričnost mislim da obojica grešite – ova relacija nije simetrična. Za simetričnost joj „smeta“ to što sadrži uređeni par [inlmath](3,4)[/inlmath] a ne sadrži i uređeni par [inlmath](4,3)[/inlmath]. Kad bi bio uklonjen uređeni par [inlmath](3,4)[/inlmath], tada bi relacija bila simetrična. Isto tako, ako bi bio dodat uređeni par [inlmath](4,3)[/inlmath], tada bi relacija takođe bila simetrična.
Ili, možemo reći ovako: simetričnost je definisana kao
[dispmath](\forall x,y\in\mathbb{A})(x\rho y\;\Longrightarrow\;y\rho x)[/dispmath] Ako u ovu implikaciju uvrstimo [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]y=4[/inlmath], imaćemo
[dispmath]3\rho4\;\Longrightarrow\;4\rho3\\
\top\;\Longrightarrow\;\bot[/dispmath] pa implikacija nije tačna. A čim ta implikacija nije tačna, relacija nije simetrična.

Nije ni antisimetrična, jer sadrži dva međusobno simetrična uređena para, [inlmath](1,2)[/inlmath] i [inlmath](2,1)[/inlmath]. Kada bi bar jedan od ta dva uređena para bio uklonjen, relacija bi postala antisimetrična. Može se to i striktno dokazati tako što se u definiciju antisimetričnosti,
[dispmath](\forall x,y\in\mathbb{A})(x\rho y\land y\rho x\;\Longrightarrow\;x=y)[/dispmath] uvrsti [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]y=2[/inlmath], čime se dobija implikacija
[dispmath]1\rho2\land2\rho1\;\Longrightarrow\;1=2\\
\top\land\top\;\Longrightarrow\;\bot\\
\top\;\Longrightarrow\;\bot[/dispmath] pa implikacija nije tačna, tj. relacija nije antisimetrična.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7508
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3908 puta
Pohvaljen: 4031 puta

Re: Osobine relacija

Postod štime » Utorak, 09. April 2019, 07:48

Daniel je napisao:[dispmath]1\rho2\land2\rho4\;\Longrightarrow\;1\rho4[/dispmath]

Imam jedno pitanje. Koliko sam ja do sada shvatio, konkretan primer tranzitivnosti koji sam citirao odnosi se na ceo skup, nikako se ne može odnositi na konkretnu relaciju? Jer, ne postoje uređeni parovi koji bi potvrdili implikaciju, pa se ni ne poseže za njima, govorim o konkretnoj implikaciji ne o celom skupu.

Pozdrav!
štime  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Osobine relacija

Postod Daniel » Nedelja, 14. April 2019, 17:28

Molim te da pitanje postaviš jasnije ako želiš da ti bude odgovoreno, jer ovo što si napisao ja ništa ne razumem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7508
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3908 puta
Pohvaljen: 4031 puta

Re: Osobine relacija

Postod štime » Utorak, 16. April 2019, 19:12

Hteo sam da kažem (možda i da pitam, jer nisam potpuno siguran, a tako sam do sada razumeo) da se tranzitivnost podrazumeva, sve dok ne može da se pobije. Tako da uobičajeno nema potrebe za proverom svih mogućih kombinacija tj. uređenih parova, već samo onih priloženih u relaciji. Em smanjuje vreme, em je 100% tačno?

U konkretnom slučaju,
Daniel je napisao:[dispmath]1\rho2\land2\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho1[/dispmath]

je primer koji je sasvim dovoljan za potvrdu tranzitivnosti, jer se ne može između ostalog pronaći uređeni par u relaciji koji bi je opovrgnuo. Tako da je osobina tranzitivnosti u konkretnoj relaciji prisutna.

Nadam se da sam sad bio konkretniji, poradiću na tome ubuduće. Pozdrav!
štime  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Osobine relacija

Postod Daniel » Utorak, 16. April 2019, 23:54

OK, ovo sad je već jasnije, tako da sad mogu odgovoriti.

štime je napisao:Hteo sam da kažem (možda i da pitam, jer nisam potpuno siguran, a tako sam do sada razumeo) da se tranzitivnost podrazumeva, sve dok ne može da se pobije.

Ne sme se tako reći. Ništa se ne podrazumeva. Definicija je vrlo jasna. Ukoliko za sve uređene trojke [inlmath](x,y,z)[/inlmath] datog skupa (pri čemu neki od tih elemenata mogu biti i međusobno jednaki) važi [inlmath]x\rho y\;\land\;y\rho z\;\Longrightarrow\;x\rho z[/inlmath], relacija je tranzitivna. Ukoliko postoji bar jedna uređena trojka [inlmath](x,y,z)[/inlmath] datog skupa za koju to ne važi – relacija nije tranzitivna.

štime je napisao:Tako da uobičajeno nema potrebe za proverom svih mogućih kombinacija tj. uređenih parova, već samo onih priloženih u relaciji. Em smanjuje vreme, em je 100% tačno?

Ukoliko je relacija zadata kao skup uređenih parova (kao u ovom zadatku), onda da. Svakako da nema potrebe ispitivati npr. implikaciju [inlmath]3\rho1\;\land\;1\rho2\;\Longrightarrow\;3\rho2[/inlmath], jer je očigledno da je leva strana netačna, pa će onda ta implikacija sigurno biti tačna bez obzira na (ne)tačnost njene desne strane.

štime je napisao:U konkretnom slučaju,
Daniel je napisao:[dispmath]1\rho2\land2\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho1[/dispmath]

je primer koji je sasvim dovoljan za potvrdu tranzitivnosti, jer se ne može između ostalog pronaći uređeni par u relaciji koji bi je opovrgnuo.

Potrebno je ispitati i sledeće implikacije:
[inlmath]2\rho1\land1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho2\\
1\rho1\land1\rho2\;\Longrightarrow\;1\rho2\\
1\rho2\land2\rho2\;\Longrightarrow\;1\rho2\\
2\rho1\land1\rho1\;\Longrightarrow\;2\rho1\\
2\rho2\land2\rho1\;\Longrightarrow\;2\rho1\\
3\rho3\land3\rho4\;\Longrightarrow\;3\rho4\\
3\rho4\land4\rho4\;\Longrightarrow\;3\rho4[/inlmath]
mada, svi ovi slučajevi izuzev prvog ([inlmath]2\rho1\land1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho2[/inlmath]) mogu se i izostaviti ako se uoči da je desna strana uvek tačna kada je tačna i leva.

Sad mi je, zapravo, jasno i ovo tvoje prethodno pitanje,
štime je napisao:
Daniel je napisao:[dispmath]1\rho2\land2\rho4\;\Longrightarrow\;1\rho4[/dispmath]

Imam jedno pitanje. Koliko sam ja do sada shvatio, konkretan primer tranzitivnosti koji sam citirao odnosi se na ceo skup, nikako se ne može odnositi na konkretnu relaciju? Jer, ne postoje uređeni parovi koji bi potvrdili implikaciju, pa se ni ne poseže za njima, govorim o konkretnoj implikaciji ne o celom skupu.

Jeste. Mada je neprecizno reći da se ova implikacija ne odnosi na konkretnu relaciju. Za ovu konkretnu relaciju, leva strana citirane implikacije bi bila netačna, tako da desna strana nije od važnosti za tačnost implikacije – ta implikacija je svakako tačna. Zbog toga će biti tačne sve implikacije kod kojih se na levoj strani nađu oni uređeni parovi koje posmatrana relacija ne sadrži.
Ali, ako je tvoje pitanje da li možemo preskočiti ovakve implikacije u kojima se na levoj strani nalaze uređeni parovi kojih nema u konkretnoj, posmatranoj relaciji – da, možemo ih preskočiti.

Proporučujem (i tebi, i svima koji žele da provežbaju ove osobine relacija) da malo eksperimentišete u online programu koji sam napravio upravo za tu svrhu, da pratite kako se dodavanjem i uklanjanjem određenih uređenih parova neke relacije, menjaju osobine (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost...) te relacije.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7508
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3908 puta
Pohvaljen: 4031 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 24. Maj 2019, 02:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs