Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Relacija ekvivalencije nad matricama

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod display_error » Sreda, 20. Maj 2015, 16:51

Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Neka je [inlmath]S=\left\{\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}:\:a,b,c,d\in\mathbb{C}\right\}[/inlmath] i [inlmath]M=\left\{\begin{bmatrix}a & b\\-\overline{b}&\overline{a}\end{bmatrix}:\:a,b\in\mathbb{C},\:|a|+|b|\neq0\right\}[/inlmath]. Neka za sve [inlmath]X,Y\in S[/inlmath] vredi:
[dispmath]X\rho Y\;\Leftrightarrow\;(\exists A\in M)\;AXA^{-1}=Y[/dispmath]
Dokazati da je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije u [inlmath]S[/inlmath].
Znam da treba ispitati refleksivnost,simetričnost i tranzitivnost, ali ne znam kako.
Hvala.
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod Daniel » Sreda, 20. Maj 2015, 23:48

Za početak, umeš li da napišeš kako glase iskazi za refleksivnost, simetričnost i tranzitivnost koristeći zadatu formulu [inlmath]X\rho Y\;\Leftrightarrow\;(\exists A\in M)AXA^{-1}=Y[/inlmath]?

Jedan savet – matričnu jednačinu [inlmath]AXA^{-1}=Y[/inlmath] možeš pomnožiti zdesna sa [inlmath]A[/inlmath] i dobićeš oblik te jednačine pogodniji za računanje. Da li znaš zbog čega je dat uslov [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\neq0[/inlmath], tj. šta bi mogao biti problem kad taj uslov ne bi bio zadat?

Mnogo mi se sviđa ovaj zadatak, jer su u njemu kombinovane čak tri matematičke oblasti – i relacije nad skupovima, i matrični račun, i kompleksni brojevi. Svaka čast onom ko ga je smislio. :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod display_error » Četvrtak, 21. Maj 2015, 08:51

@Daniel

Refleksivnost: [inlmath]X\rho X\;\Leftrightarrow\;(\exists A\in M)AXA^{-1}=X[/inlmath]

Simetričnost: [inlmath]X\rho Y\;\Rightarrow\;Y\rho X[/inlmath]
[inlmath]AXA^{-1}=Y\;\Rightarrow\;A^{-1}YA=X[/inlmath]

Tranzitivnost: [inlmath]X\rho Y\;\cap\;Y\rho Z\;\Rightarrow\;X\rho Z[/inlmath]
[inlmath]Y\rho Z\;\Leftrightarrow\;(\exists B\in M)BYB^{-1}=Z[/inlmath]
[inlmath]AXA^{-1}=Y\;\cap\;BYB^{-1}=Z\;\Rightarrow\;BAXA^{-1}B^{-1}=Z\;\Rightarrow\;X\rho Z[/inlmath]

Uslov [inlmath]|a|+|b|\neq0[/inlmath] važi za sve kompleksne brojeve iz skupa [inlmath]M[/inlmath] kada su realni i imaginarni dijelovi različiti od nule.
Ako bi se uzeo u obyir uslov [inlmath]|a|+|b|=0[/inlmath], to bi valjda značilo da nije moguće uzeti dva različita elementa u matrici, a samim tim ni dve različite matrice. To bi dalje značilo da nije ispunjen uslov tranzitivnosti?

Da li je ovo tačno? Osim samog ispitivanja osobina relacije ekvivalencije, da li je potrebno uraditi dodatne operacije nad matricama iz [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath]?

Hvala.
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod Daniel » Četvrtak, 21. Maj 2015, 18:00

display_error je napisao:Refleksivnost: [inlmath]X\rho X\;\Leftrightarrow\;(\exists A\in M)AXA^{-1}=X[/inlmath]

Tako je. :correct: Zatim je potrebno naći takvu matricu [inlmath]A[/inlmath] koja zadovoljava uslove pripadnosti skupu [inlmath]M[/inlmath], da ta matrična jednačina bude zadovoljena za svaku matricu [inlmath]X[/inlmath] iz skupa [inlmath]S[/inlmath], čime ćemo dokazati postojanje takve matrice [inlmath]A[/inlmath] u skupu [inlmath]M[/inlmath], a samim tim dokazati i da važi osobina refleksivnosti.

Da bi to uradio, jednostavnije ti je (to ti i napisah u prethodnom postu) da obe strane matrične jednačine [inlmath]AXA^{-1}=X[/inlmath] pomnožiš zdesna matricom [inlmath]A[/inlmath], pri čemu će proizvod [inlmath]A^{-1}A[/inlmath] dati jediničnu matricu (neutral za množenje matrica), pa će se matrična jednačina svesti na [inlmath]AX=XA[/inlmath]. Odatle je mnogo lakše odrediti matricu [inlmath]A\in M[/inlmath] takvu da matrična jednačina važi za svaku matricu [inlmath]X[/inlmath].

display_error je napisao:Simetričnost: [inlmath]X\rho Y\;\Rightarrow\;Y\rho X[/inlmath]
[inlmath]AXA^{-1}=Y\;\Rightarrow\;A^{-1}YA=X[/inlmath]

Ti si, zapravo, napisao krajnji rezultat matričnog računa. Ako je to rezultat do kojeg si došao svojim postupkom – taj rezultat je tačan. :correct:
Nakon ovoga je potrebno još dokazati da, ako matrica [inlmath]A[/inlmath] pripada skupu [inlmath]M[/inlmath], tada i njoj inverzna matrica, [inlmath]A^{-1}[/inlmath], takođe pripada skupu [inlmath]M[/inlmath]. Bez toga osobina simetričnosti ne bi još uvek bila dokazana, budući da je uslov postojanja relacije [inlmath]Y\rho X[/inlmath] taj, da bude [inlmath]BYB^{-1}[/inlmath] (dobio si da je [inlmath]B=A^{-1}[/inlmath]), ali i da [inlmath]B[/inlmath] pripada skupu [inlmath]M[/inlmath].

display_error je napisao:Tranzitivnost: [inlmath]X\rho Y\;{\color{red}\cap}\;Y\rho Z\;\Rightarrow\;X\rho Z[/inlmath]
[inlmath]Y\rho Z\;\Leftrightarrow\;(\exists B\in M)BYB^{-1}=Z[/inlmath]
[inlmath]AXA^{-1}=Y\;{\color{red}\cap}\;BYB^{-1}=Z\;\Rightarrow\;BAXA^{-1}B^{-1}=Z\;\Rightarrow\;X\rho Z[/inlmath]

Prvo, umesto znakova preseka [inlmath]\cap[/inlmath] (obeležio sam ih crveno) treba da stoje znaci za konjunkciju [inlmath]\land[/inlmath]. Znakovi za presek i uniju ([inlmath]\cap[/inlmath] i [inlmath]\cup[/inlmath]) predstavljaju operacije nad skupovima, dok se nad logičkim iskazima (kakve ovde imamo) vrše operacije konjunkcije i disjunkcije ([inlmath]\land[/inlmath] i [inlmath]\lor[/inlmath]).
Znači, dobio si [inlmath]BAXA^{-1}B^{-1}=Z[/inlmath], ali, kao ni kod dokazivanja osobine simetričnosti, ovime dokaz nije završen. Pošto se taj iskaz može napisati i kao [inlmath]BAX\left(BA\right)^{-1}=Z[/inlmath], zaključujemo da je proizvod [inlmath]BA[/inlmath] ta nova matrica za koju je potrebno dokazati da takođe pripada skupu [inlmath]M[/inlmath]. Znači, iz pripadnosti obe matrice, [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], skupu [inlmath]M[/inlmath], treba dokazati i pripadnost proizvoda [inlmath]BA[/inlmath] skupu [inlmath]M[/inlmath].

display_error je napisao:Uslov [inlmath]|a|+|b|\neq0[/inlmath] važi za sve kompleksne brojeve iz skupa [inlmath]M[/inlmath] kada su realni i imaginarni dijelovi različiti od nule.
Ako bi se uzeo u obyir uslov [inlmath]|a|+|b|=0[/inlmath], to bi valjda značilo da nije moguće uzeti dva različita elementa u matrici, a samim tim ni dve različite matrice. To bi dalje značilo da nije ispunjen uslov tranzitivnosti?

Ne, ako ne bi važio uslov [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\ne0[/inlmath], to ne bi obavezno značilo da bi kod svih matrica važilo [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|=0[/inlmath] (i da bi samim tim, kako si i primetio, sve matrice bile međusobno jednake, tj. nula-matrice). To bi samo značilo da bi u skupu [inlmath]M[/inlmath] postojale matrice kod kojih je [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\ne0[/inlmath], ali bi postojale i one kod kojih je (tj. ona kod koje je) [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|=0[/inlmath] (to bi bila nula-matrica). Ali, uslovom [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\ne0[/inlmath] je eliminisana mogućnost postojanja nula-matrice u skupu [inlmath]M[/inlmath], što je bitno kako bi svaka matrica iz skupa [inlmath]M[/inlmath] imala svoju inverznu matricu. Možeš li pokazati zašto?

display_error je napisao:Da li je ovo tačno? Osim samog ispitivanja osobina relacije ekvivalencije, da li je potrebno uraditi dodatne operacije nad matricama iz [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath]?

Na to sam ti, zapravo, već i odgovorio u okviru ovog posta, ali da ponovim – rezultati matričnih jednačina samo potvrđuju mogućnost da važe tražene osobine relacije ekvivalencije, a da bi te osobine i dokazao, moraš još dokazati pripadnost odgovarajućih matrica ([inlmath]A[/inlmath] za refleksivnost, [inlmath]A^{-1}[/inlmath] za simetričnost i [inlmath]BA[/inlmath] za tranzitivnost) skupu [inlmath]M[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod ss_123 » Sreda, 12. Oktobar 2016, 16:42

Daniel je napisao:budući da je uslov postojanja relacije [inlmath]Y\rho X[/inlmath] taj, da bude [inlmath]BYB^{-1}[/inlmath] (dobio si da je [inlmath]B=A^{-1}[/inlmath]), ali i da [inlmath]B[/inlmath] pripada skupu [inlmath]M[/inlmath].

Ali kako je uslov da bude [inlmath]BYB^{-1}[/inlmath] jer je to [inlmath]A^{-1}Y\left(A^{-1}\right)^{-1}[/inlmath] a to nije isto sto i [inlmath]AYA^{-1}[/inlmath] ili jeste?

I drugo pitanje
Daniel je napisao:moraš još dokazati pripadnost odgovarajućih matrica ([inlmath]A[/inlmath] za refleksivnost, [inlmath]A^{-1}[/inlmath] za simetričnost i [inlmath]BA[/inlmath] za tranzitivnost) skupu [inlmath]M[/inlmath].

Kako da dokazem da u skupu [inlmath]M[/inlmath] postoji matrica [inlmath]A[/inlmath]
Da li da napisem konkretne vrijednosti za kompleksne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod ss_123 » Sreda, 12. Oktobar 2016, 17:00

I je li kod dokazivanja simetricnosti bitno dokazati da za istu matricu [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]A^{-1}[/inlmath] ili bilo koju iz skupa [inlmath]M[/inlmath], vazi [inlmath]AYA^{-1}=X[/inlmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod Daniel » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 00:05

ss_123 je napisao:Ali kako je uslov da bude [inlmath]BYB^{-1}[/inlmath] jer je to [inlmath]A^{-1}Y\left(A^{-1}\right)^{-1}[/inlmath] a to nije isto sto i [inlmath]AYA^{-1}[/inlmath] ili jeste?

ss_123 je napisao:I je li kod dokazivanja simetricnosti bitno dokazati da za istu matricu [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]A^{-1}[/inlmath] ili bilo koju iz skupa [inlmath]M[/inlmath], vazi [inlmath]AYA^{-1}=X[/inlmath]

Ova dva pitanja su prilično konfuzno napisana, molim te da ih jasnije formulišeš kako ne bih nagađao šta si hteo da pitaš.

ss_123 je napisao:
Daniel je napisao:moraš još dokazati pripadnost odgovarajućih matrica ([inlmath]A[/inlmath] za refleksivnost, [inlmath]A^{-1}[/inlmath] za simetričnost i [inlmath]BA[/inlmath] za tranzitivnost) skupu [inlmath]M[/inlmath].

Kako da dokazem da u skupu [inlmath]M[/inlmath] postoji matrica [inlmath]A[/inlmath]
Da li da napisem konkretne vrijednosti za kompleksne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]?

Ako pitaš za refleksivnost, možeš odmah uočiti da jedinična matrica [inlmath]E[/inlmath] zadovoljava i uslov pripadnosti skupu [inlmath]M[/inlmath], i jednačinu [inlmath]EXE^{-1}=X[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod ss_123 » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 16:05

Kad ispitujemo refleksivnost:
Daniel je napisao:možeš odmah uočiti da jedinična matrica [inlmath]E[/inlmath] zadovoljava i uslov pripadnosti skupu [inlmath]M[/inlmath], i jednačinu [inlmath]EXE^{-1}=X[/inlmath].

Da, znam ja to , ali pitanje je kako da zapisem dokaz da to zapravo postoji? (da to ne ostane samo moja pretpostavka)
-Da li da napisem da mora biti [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath] (a to mogu jer takvi brojevi postoje u skupu [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath])
ili na neki drugi nacin da dokazem postojanje jedinicne matrice u skupu [inlmath]M[/inlmath] ?

Kad ispitujemo simetricnost:
Imamo [inlmath]X\rho Y\;\Rightarrow\;AXA^{-1}=Y[/inlmath]
Ponovo koristimo postojanje jedinicne matrice [inlmath]E[/inlmath] u skupu [inlmath]M[/inlmath]
ako pomnozimo sa lijeve strane sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath], a sa desne strane sa [inlmath]A[/inlmath]
dobijamo [inlmath]X=A^{-1}YA[/inlmath].
Ali,
mi trebamo dokazati [inlmath]Y\rho X[/inlmath], a to je [inlmath]X=AYA^{-1}[/inlmath] sto nije jednako [inlmath]X=A^{-1}YA[/inlmath].
Nije mi jasno kako iz ovoga slijedi da je dokazana simetricnost ako to nije jednako?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod Daniel » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 21:35

ss_123 je napisao:-Da li da napisem da mora biti [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath] (a to mogu jer takvi brojevi postoje u skupu [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath])
ili na neki drugi nacin da dokazem postojanje jedinicne matrice u skupu [inlmath]M[/inlmath] ?

Da, uvrštavanjem [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath] u matricu [inlmath]\begin{bmatrix} a & b\\ -\overline b & \overline a \end{bmatrix}[/inlmath] pokazuješ da matrica [inlmath]\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}[/inlmath] jeste oblika [inlmath]\begin{bmatrix} a & b\\ -\overline b & \overline a \end{bmatrix}[/inlmath] i da, samim tim, pripada skupu matrica [inlmath]M[/inlmath].

ss_123 je napisao:Kad ispitujemo simetricnost:
Imamo [inlmath]X\rho Y\;\Rightarrow\;AXA^{-1}=Y[/inlmath]
Ponovo koristimo postojanje jedinicne matrice [inlmath]E[/inlmath] u skupu [inlmath]M[/inlmath]
ako pomnozimo sa lijeve strane sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath], a sa desne strane sa [inlmath]A[/inlmath]
dobijamo [inlmath]X=A^{-1}YA[/inlmath].

Da, koristimo jediničnu matricu kako bi [inlmath]AA^{-1}[/inlmath] bilo jednako [inlmath]E[/inlmath] i kako bi [inlmath]A^{-1}A[/inlmath] bilo jednako [inlmath]E[/inlmath], ali tada nije bitno da [inlmath]E[/inlmath] pripada skupu [inlmath]M[/inlmath] (u slučaju refleksivnosti to je bilo bitno).

ss_123 je napisao:Ali,
mi trebamo dokazati [inlmath]Y\rho X[/inlmath], a to je [inlmath]X=AYA^{-1}[/inlmath] sto nije jednako [inlmath]X=A^{-1}YA[/inlmath].
Nije mi jasno kako iz ovoga slijedi da je dokazana simetricnost ako to nije jednako?

Definicija relacije [inlmath]\rho[/inlmath] je da je [inlmath]X[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]Y[/inlmath] akko postoji neka matrica [inlmath]A[/inlmath] iz skupa [inlmath]M[/inlmath] takva da važi [inlmath]AXA^{-1}=Y[/inlmath].
Znači, ne da za neku zadatu matricu [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]AXA^{-1}=Y[/inlmath], već da postoji matrica [inlmath]A[/inlmath] iz skupa [inlmath]M[/inlmath] za koju će to važiti. Tu matricu ne moramo obeležiti sa [inlmath]A[/inlmath], možemo je obeležiti i sa [inlmath]B[/inlmath], i sa [inlmath]C[/inlmath] itd., bitno je samo da ona pripada skupu [inlmath]M[/inlmath].
To znači da logički iskaz [inlmath]X\rho Y\;\Longrightarrow Y\rho X[/inlmath] čitamo na sledeći način: ako postoji neka matrica [inlmath]A[/inlmath] iz skupa [inlmath]M[/inlmath] takva da važi [inlmath]AXA^{-1}=Y[/inlmath], tada postoji neka matrica [inlmath]B[/inlmath] iz skupa [inlmath]M[/inlmath] takva da važi [inlmath]BYB^{-1}=X[/inlmath]. Pri tome, [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] ne moraju biti jednake, bitno je samo da [inlmath]B[/inlmath] takođe pripada skupu [inlmath]M[/inlmath] kao i matrica [inlmath]A[/inlmath] da bi ova implikacija (a time i simetričnost relacije [inlmath]\rho[/inlmath]) važila.

E sad, pošto si pokazao da iz [inlmath]X\rho Y[/inlmath] sledi [inlmath]X=A^{-1}YA[/inlmath], tu jednakost sad možeš zapisati kao [inlmath]BYB^{-1}=X[/inlmath], gde je [inlmath]B=A^{-1}[/inlmath]. Ako dokažeš da iz pripadnosti [inlmath]A[/inlmath] skupu [inlmath]M[/inlmath] sledi i pripadnost [inlmath]B[/inlmath] skupu [inlmath]M[/inlmath] (a to se dokazuje takođe preko elemenata matrice), tada će iskaz [inlmath]BYB^{-1}=X[/inlmath] značiti da je [inlmath]Y[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]X[/inlmath], odakle će biti dokazana simetričnost.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Relacija ekvivalencije nad matricama

Postod ss_123 » Ponedeljak, 17. Oktobar 2016, 13:48

Sad mi je jasno, samo jos ne znam kako da dokazem da postoji matrica [inlmath]A^{-1}[/inlmath] u skupu [inlmath]M[/inlmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sledeća

Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 22 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs