display_error je napisao:Refleksivnost: [inlmath]X\rho X\;\Leftrightarrow\;(\exists A\in M)AXA^{-1}=X[/inlmath]
Tako je.
Zatim je potrebno naći takvu matricu [inlmath]A[/inlmath] koja zadovoljava uslove pripadnosti skupu [inlmath]M[/inlmath], da ta matrična jednačina bude zadovoljena za svaku matricu [inlmath]X[/inlmath] iz skupa [inlmath]S[/inlmath], čime ćemo dokazati postojanje takve matrice [inlmath]A[/inlmath] u skupu [inlmath]M[/inlmath], a samim tim dokazati i da važi osobina refleksivnosti.
Da bi to uradio, jednostavnije ti je (to ti i napisah u prethodnom postu) da obe strane matrične jednačine [inlmath]AXA^{-1}=X[/inlmath] pomnožiš zdesna matricom [inlmath]A[/inlmath], pri čemu će proizvod [inlmath]A^{-1}A[/inlmath] dati jediničnu matricu (neutral za množenje matrica), pa će se matrična jednačina svesti na [inlmath]AX=XA[/inlmath]. Odatle je mnogo lakše odrediti matricu [inlmath]A\in M[/inlmath] takvu da matrična jednačina važi za svaku matricu [inlmath]X[/inlmath].
display_error je napisao:Simetričnost: [inlmath]X\rho Y\;\Rightarrow\;Y\rho X[/inlmath]
[inlmath]AXA^{-1}=Y\;\Rightarrow\;A^{-1}YA=X[/inlmath]
Ti si, zapravo, napisao krajnji rezultat matričnog računa. Ako je to rezultat do kojeg si došao svojim postupkom – taj rezultat je tačan.
Nakon ovoga je potrebno još dokazati da, ako matrica [inlmath]A[/inlmath] pripada skupu [inlmath]M[/inlmath], tada i njoj inverzna matrica, [inlmath]A^{-1}[/inlmath], takođe pripada skupu [inlmath]M[/inlmath]. Bez toga osobina simetričnosti ne bi još uvek bila dokazana, budući da je uslov postojanja relacije [inlmath]Y\rho X[/inlmath] taj, da bude [inlmath]BYB^{-1}[/inlmath] (dobio si da je [inlmath]B=A^{-1}[/inlmath]), ali i da [inlmath]B[/inlmath] pripada skupu [inlmath]M[/inlmath].
display_error je napisao:Tranzitivnost: [inlmath]X\rho Y\;{\color{red}\cap}\;Y\rho Z\;\Rightarrow\;X\rho Z[/inlmath]
[inlmath]Y\rho Z\;\Leftrightarrow\;(\exists B\in M)BYB^{-1}=Z[/inlmath]
[inlmath]AXA^{-1}=Y\;{\color{red}\cap}\;BYB^{-1}=Z\;\Rightarrow\;BAXA^{-1}B^{-1}=Z\;\Rightarrow\;X\rho Z[/inlmath]
Prvo, umesto znakova preseka [inlmath]\cap[/inlmath] (obeležio sam ih crveno) treba da stoje znaci za konjunkciju [inlmath]\land[/inlmath]. Znakovi za presek i uniju ([inlmath]\cap[/inlmath] i [inlmath]\cup[/inlmath]) predstavljaju operacije nad skupovima, dok se nad logičkim iskazima (kakve ovde imamo) vrše operacije konjunkcije i disjunkcije ([inlmath]\land[/inlmath] i [inlmath]\lor[/inlmath]).
Znači, dobio si [inlmath]BAXA^{-1}B^{-1}=Z[/inlmath], ali, kao ni kod dokazivanja osobine simetričnosti, ovime dokaz nije završen. Pošto se taj iskaz može napisati i kao [inlmath]BAX\left(BA\right)^{-1}=Z[/inlmath], zaključujemo da je proizvod [inlmath]BA[/inlmath] ta nova matrica za koju je potrebno dokazati da takođe pripada skupu [inlmath]M[/inlmath]. Znači, iz pripadnosti obe matrice, [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], skupu [inlmath]M[/inlmath], treba dokazati i pripadnost proizvoda [inlmath]BA[/inlmath] skupu [inlmath]M[/inlmath].
display_error je napisao:Uslov [inlmath]|a|+|b|\neq0[/inlmath] važi za sve kompleksne brojeve iz skupa [inlmath]M[/inlmath] kada su realni i imaginarni dijelovi različiti od nule.
Ako bi se uzeo u obyir uslov [inlmath]|a|+|b|=0[/inlmath], to bi valjda značilo da nije moguće uzeti dva različita elementa u matrici, a samim tim ni dve različite matrice. To bi dalje značilo da nije ispunjen uslov tranzitivnosti?
Ne, ako ne bi važio uslov [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\ne0[/inlmath], to
ne bi obavezno značilo da bi kod svih matrica važilo [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|=0[/inlmath] (i da bi samim tim, kako si i primetio, sve matrice bile međusobno jednake, tj. nula-matrice). To bi samo značilo da bi u skupu [inlmath]M[/inlmath] postojale matrice kod kojih je [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\ne0[/inlmath], ali bi postojale i one kod kojih je (tj. ona kod koje je) [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|=0[/inlmath] (to bi bila nula-matrica). Ali, uslovom [inlmath]\left|a\right|+\left|b\right|\ne0[/inlmath] je eliminisana mogućnost postojanja nula-matrice u skupu [inlmath]M[/inlmath], što je bitno kako bi svaka matrica iz skupa [inlmath]M[/inlmath] imala svoju inverznu matricu. Možeš li pokazati zašto?
display_error je napisao:Da li je ovo tačno? Osim samog ispitivanja osobina relacije ekvivalencije, da li je potrebno uraditi dodatne operacije nad matricama iz [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath]?
Na to sam ti, zapravo, već i odgovorio u okviru ovog posta, ali da ponovim – rezultati matričnih jednačina samo potvrđuju
mogućnost da važe tražene osobine relacije ekvivalencije, a da bi te osobine i dokazao, moraš još dokazati pripadnost odgovarajućih matrica ([inlmath]A[/inlmath] za refleksivnost, [inlmath]A^{-1}[/inlmath] za simetričnost i [inlmath]BA[/inlmath] za tranzitivnost) skupu [inlmath]M[/inlmath].