Ma daleko od toga da nešto zameram,
samo sam nastojao da to objasnim što bolje i preciznije.
U vezi s ovim drugim zadatkom, da li su one relacije koje si napisao u svom postupku, [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\theta[/inlmath], zadate kao takve, ili si ih ti uzeo kao primer, budući da u tekstu zadatka koji si priložio ne vidim da se spominju? To mi je bitno, kako bih znao kako tačno glasi zadatak.
U međuvremenu, još nekoliko stvari u vezi s prvim zadatkom:
Cisra je napisao:h) [inlmath]0[/inlmath] - ovo je logicno
To uopšte ne mora da bude slučaj kada u skupu imaš više od dva elementa. Dakle, mogu postojati i takve relacije koje istovremeno nisu ni simetrične ni antisimetrične. Na primer, neka je skup [inlmath]X=\left\{1,2,3\right\}[/inlmath] i [inlmath]\rho=\left\{\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(2,3\right)\right\}[/inlmath].
Da [inlmath]\rho[/inlmath] nije simetrična zaključujemo na osnovu kontraprimera: [inlmath]2\rho3\;\Rightarrow\;3\rho2[/inlmath] – netačno, tj. kontradikcija.
Da [inlmath]\rho[/inlmath] nije antisimetrična zaključujemo na osnovu kontraprimera: [inlmath]1\rho2\land2\rho1\;\Rightarrow\;1=2[/inlmath] – netačno, tj. kontradikcija.
To što je u tvom zadatku [inlmath]0[/inlmath] ispao tačan odgovor samo je zbog toga što je [inlmath]2[/inlmath] premali broj elemenata skupa da bi u takvom skupu neka relacija mogla istovremeno i ne biti simetrična i ne biti antisimetrična.
Pokazao bih ti i kako tabelarnim prikazom možeš proveriti rešenja koja si dobio za broj refleksivnih, simetričnih i antisimetričnih relacija.
Kod refleksivnih relacija, kao što sam ti već i
napisao, sva polja na glavnoj dijagonali tabele moraju biti popunjena, budući da je svaki element u relaciji sa samim sobom:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
& 1 & 2\\ \hline
1 & {\Large\bullet} & ?\\ \hline
2 & ? & {\Large\bullet}\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Polja koja sam obeležio znacima pitanja mogu biti i popunjena i nepopunjena, to ne utiče na refleksivnost te relacije. Pošto takvih polja ima dva, a svako od njih može biti i popunjeno i nepopunjeno, to su varijacije s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa (popunjeno ili nepopunjeno) [inlmath]2.[/inlmath] klase ([inlmath]2[/inlmath] polja), tj. [inlmath]\overline V_2^2=2^2=4[/inlmath]. Znači, ukupno [inlmath]4[/inlmath] moguće refleksivne relacije.
Kod simetričnih relacija, iz formalne definicije [inlmath]\left(\forall x,y\in X\right)\left(x\rho y\;\Rightarrow\;y\rho x\right)[/inlmath] zaključujemo da će kod tabelarnog prikaza te relacije svako popunjeno polje s jedne strane glavne dijagonale imati svog parnjaka, koji će se nalaziti simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu. Isto važi i za nepopunjena polja. Znači, raspored (ne)popunjenih polja s jedne strane glavne dijagonale biće simetričan u odnosu na raspored s druge strane glavne dijagonale. Zbog toga tabelu možemo predstaviti ovako:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
& 1 & 2\\ \hline
1 & ? & ?\\ \hline
2 & & ?\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Znaci pitanja se nalaze, pre svega, na glavnoj dijagonali, jer (ne)popunjenost tih polja ne utiče na simetričnost relacije. Van glavne dijagonale, moguće slučajeve posmatramo samo s jedne strane glavne dijagonale, jer kako su polja (ne)popunjena s jedne strane glavne dijagonale, moraju biti i s druge. Naravno, isto tako smo mogli da obeležimo i [inlmath]\small\begin{array}{c|c|c|}
& 1 & 2\\ \hline
1 & ? & \\ \hline
2 & ? & ?\\ \hline
\end{array}\;[/inlmath], to ništa ne menja stvar. U oba slučaja imamo [inlmath]3[/inlmath] polja od kojih svako može biti ili popunjeno ili nepopunjeno, te imamo varijacije s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa (popunjeno ili nepopunjeno) [inlmath]3.[/inlmath] klase ([inlmath]3[/inlmath] polja), pa je to [inlmath]\overline V_2^3=2^3=8[/inlmath], dakle, [inlmath]8[/inlmath] simetričnih relacija.
Kod antisimetričnih relacija, iz formalne definicije [inlmath]\left(\forall x,y\in X\right)\left(x\rho y\land y\rho x\;\Rightarrow\;x=y\right)[/inlmath] zaključujemo da kod tabelarnog prikaza te relacije ne može postojati takav par popunjenih polja koja su međusobno simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. To znači, broj antisimetričnih relacija dobijamo tako što od broja svih relacija oduzmemo broj onih relacija kod kojih postoji bar jedan par popunjenih polja simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu, a to je, kod skupa od dva elementa, sledeći slučaj:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
& 1 & 2\\ \hline
1 & ? & {\Large\bullet}\\ \hline
2 & {\Large\bullet} & ?\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Takvih relacija, očigledno, ima [inlmath]4[/inlmath] (slično objašnjenje kao i u prethodnim primerima) i, kad to oduzmemo od ukupnog broja relacija koji iznosi [inlmath]16[/inlmath], dobijamo broj od [inlmath]12[/inlmath] antisimetričnih relacija.
Naravno da ovakav način određivanja broja relacija ne može mnogo da ti pomogne kada je potrebno kasnije odrediti i broj relacija ekvivalencije, relacija poretka itd., tada ti ne gine ispisivanje svake od tih relacija, ali, kao što rekoh, može ti pomoći da proveriš jesi li dobio ispravna rešenja, tj. da li se rezultati poklapaju.
I, ajd da ti još pokažem i kako bi tabelarno izgledao onaj slučaj relacija nad skupom od [inlmath]3[/inlmath] elementa koje nisu ni simetrične ni antisimetrične (koji sam spominjao na samom početku ovog posta). Kod takve relacije mora postojati bar jedno popunjeno polje van glavne dijagonale koje nema svog popunjenog parnjaka simetričnog u odnosu na glavnu dijagonalu (kako relacija ne bi bila simetrična) i mora postojati bar jedan par popunjenih polja simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu (kako relacija ne bi bila antisimetrična). Upravo takva je pomenuta relacija [inlmath]\rho=\left\{\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(2,3\right)\right\}[/inlmath], čiji bi tabelarni prikaz izgledao ovako:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|}
& 1 & 2 & 3\\ \hline
1 & ? & {\color{blue}\Large\bullet} & ?\\ \hline
2 & {\color{blue}\Large\bullet} & ? & {\color{green}\Large\bullet}\\ \hline
3 & ? & & ?\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Dakle, zeleno sam obeležio polje zbog kojeg ova relacija nije simetrična, a plavo sam obeležio polja zbog kojih ova relacija nije antisimetrična.