Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Dokazivanje identiteta među skupovima

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Dokazivanje identiteta među skupovima

Postod dzenan9999 » Utorak, 25. Oktobar 2016, 15:49

Pozdrav.Zanima me može li neko da pokuša dokazati sljedeća dva identiteta.Većina nas je navikli da koristi "gotove" formule, a kad se radi o njihovom dokazivanju tu je već problem.Pa eto ako neko zna ovo da uradi ili barem da pokuša pomoć, hvala unaprijed.Uglavnom zadatak glasi :

Neka je [inlmath]f\colon X\mapsto Y[/inlmath] preslikavanje i neka je [inlmath]A,B\subseteq X;\enspace C,D\subseteq Y[/inlmath]. Tada vrijede formule :
[dispmath]1)\enspace f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B);\enspace[/dispmath][dispmath]2)\enspace f^{-1}(C\setminus D)=f^{-1}(C)\setminus f^{-1}(D);\enspace[/dispmath][dispmath]3)\enspace A\subseteq f^{-1}\bigl(f(A)\bigr).[/dispmath]
Zadatak riješiti općenito (ne koristeći primjere).

Sada,znam da pod zadatim uslovima vrijedi :
[dispmath]f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y[/dispmath][dispmath]f(B)=\{f(x)\colon x\in B\}\subseteq Y[/dispmath][dispmath]f(A\setminus B)=\{f(x)\colon x\in B\;\land\;x\notin B\}\subseteq Y[/dispmath]
Za mene su skupovi "apstraktni" ako mogu tako da kažem pa ne znam kako da ovo što sam zapisao primjenim da riješim ovaj problem.I ako piše da se riješi za neki opći slućaj, primjer bi dobro došao da bolje shvatim zadatak.
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 4 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje identiteta među skupovima

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Oktobar 2016, 22:47

Evo za 1), a mislim (mada se nisam baš udubljivao) da se i ovi ostali mogu uraditi po sličnom principu.

Posmatrajmo neko [inlmath]y[/inlmath] takvo da [inlmath]y\in f(A)\setminus f(B)[/inlmath]. Odatle vidimo da važi [inlmath]y\in f(A)\;\land\;y\notin f(B)[/inlmath].
Iz [inlmath]y\in f(A)[/inlmath] sledi da postoji neko [inlmath]x\in A[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath].
Iz [inlmath]y\notin f(B)[/inlmath] sledi da ne postoji [inlmath]x\in B[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath], što znači da [inlmath]x\notin B[/inlmath].
Iz [inlmath]x\in A[/inlmath] i [inlmath]x\notin B[/inlmath] sledi [inlmath]x\in A\setminus B[/inlmath].
A iz [inlmath]x\in A\setminus B[/inlmath] sledi [inlmath]y\in f(A\setminus B)[/inlmath].

Ovime smo došli do implikacije [inlmath]y\in f(A)\setminus f(B)\;\Longrightarrow\;y\in f(A\setminus B)[/inlmath], a po definiciji podskupa ovo se može zapisati i kao [inlmath]f(A)\setminus f(B)\subseteq f(A\setminus B)[/inlmath], a to je isto što i [inlmath]f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)[/inlmath], što je trebalo dokazati.

BTW u slučaju da je [inlmath]f[/inlmath] injektivna, tada ćemo umesto znaka [inlmath]\supseteq[/inlmath] imati znak jednakosti.

dzenan9999 je napisao:I ako piše da se riješi za neki opći slućaj, primjer bi dobro došao da bolje shvatim zadatak.

Uzmi za primer [inlmath]A=\{-1,1\}[/inlmath], [inlmath]B=\{1\}[/inlmath] i [inlmath]f\colon x\mapsto x^2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazivanje identiteta među skupovima

Postod dzenan9999 » Nedelja, 30. Oktobar 2016, 11:32

Hvala Daniele,vjeruj da sam na kraju i ja sam krenuo razmisljati u tom pravcu.Ako postoji [inlmath]x[/inlmath] ...
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 4 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 22 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs