desideri je napisao:Pa zar nisu iste, i leva i desna strana?
Naravno da nisu iste,
na levoj je [inlmath]x^2−x^4[/inlmath] a na desnoj [inlmath]y^2−y^4[/inlmath].
Odatle
ne sledi da [inlmath]x=y[/inlmath] mora biti jedino rešenje, a kontraprimer bi bio [inlmath]x=\frac{\sqrt3}{2},\;y=\frac{1}{2}[/inlmath]. Obe vrednosti pripadaju zadatom intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], i za njih važi [inlmath]x^2−x^4=y^2−y^4[/inlmath], iako ne važi [inlmath]x=y[/inlmath].
To se može pokazati ako se iz [inlmath]x^2−x^4=y^2−y^4[/inlmath] izrazi neka od te dve promenljive, recimo [inlmath]x[/inlmath],
[dispmath]x^2−x^4=y^2−y^4\\
x^4-x^2+y^2−y^4=0\\
\left(x^2\right)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-4y^2+4y^4}}{2}[/dispmath]
i onda se, jednostavnim uvrštavanjem umesto [inlmath]y[/inlmath] neke vrednosti iz intervala [inlmath](0,1)[/inlmath], npr. [inlmath]y=\frac{1}{2}[/inlmath], dobiju kao rešenja [inlmath]x_1=-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], [inlmath]x_2=-\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]x_3=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]x_4=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pri čemu poslednja dva pripadaju zadatom intervalu, od čega [inlmath]x_3=\frac{1}{2}[/inlmath] zapravo predstavlja [inlmath]x=y[/inlmath] (što je da tako kažem trivijalno, već iz samog pogleda u jednačinu vidi se da je [inlmath]x=y[/inlmath] jedno od rešenja), dok nam rešenje [inlmath]x_4=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] pokazuje da iz te jednačine ne mora slediti [inlmath]x=y[/inlmath], što znači da kod ove relacije antisimetričnost ne važi.
ss_123 je napisao:A simetricnost, jel tako, ne vrijedi?
Simetričnost bi značila da za svako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]S[/inlmath] važi implikacija
[dispmath]x^2\left(1-x^2\right)\ge y^2\left(1-y^2\right)\;\Longrightarrow\;y^2\left(1-y^2\right)\ge x^2\left(1-x^2\right)[/dispmath]
a to će važiti samo ako za svako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]S[/inlmath] važi
[dispmath]x^2\left(1-x^2\right)=y^2\left(1-y^2\right)[/dispmath]
Međutim, lako se može naći kontraprimer, npr. [inlmath]x=\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath] i [inlmath]y=\frac{1}{\sqrt3}[/inlmath].
ss_123 je napisao:Da li je ispravno
[dispmath]\frac{x^2}{1-y^2}\ge\frac{y^2}{1-x^2}\;\Longrightarrow\;x^2\left(1-x^2\right)\ge y^2\left(1-y^2\right)[/dispmath]
Jeste, ispravno je, pošto i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], pa samim tim [inlmath]1-y^2[/inlmath] i [inlmath]1-x^2[/inlmath] moraju biti pozitivni. Zbog toga možemo obe strane pomnožiti ovim vrednostima, ne menjajući pri tome smer znaka nejednakosti.
Da nije bio dat uslov [inlmath]x,y\in(0,1)[/inlmath], tj. da ne znamo predznake izraza [inlmath]1-y^2[/inlmath] i [inlmath]1-x^2[/inlmath], tada bismo morali raditi posebno za razne slučajeve njihovih predznaka.
P.S. Prvi put vidim da se u nekom zadatku relacija označava slovom [inlmath]p[/inlmath]. Da nisi možda umesto [inlmath]p[/inlmath] hteo da napišeš [inlmath]\rho[/inlmath]? Ako je tako, da ti ispravim?