Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Definisanje ne-prirodnih brojeva preko ZFC aksioma

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Definisanje ne-prirodnih brojeva preko ZFC aksioma

Postod Abyzou97 » Utorak, 09. Maj 2017, 17:39

Heyo,

Uz 9 aksioma iz ZFC-a lako definisemo prirodne brojeve i operaciju sledbenika, preko koje definisemo dalje "pozitivne" operacije (sabiranje, mnozenje, stepenovanje...). Ti prirodni brojevi su dati preko skupova, a operacija sledbenika se daje preko aksiome koja definise uniju skupova. Ova cela osnova mi je jasna...
[dispmath]0=\emptyset[/dispmath][dispmath]1=\{\emptyset\}[/dispmath][dispmath]2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}[/dispmath] Zanima me na koji nacin preko tih aksioma uvodimo negativne brojeve, racionalne brojeve, iracionalne brojeve i "negativne" operacije (oduzimanje, deljenje, korenovanje...). Jasno mi je da su ZFC aksiome (neke) poprilicno slabe sa obzirom na broj kontradikcija koji iz njih proistice, ali paradoksi i abstraktni pojmovi su uvek bili deo matematike (sto je i cini zanimljivom). Naravno, stvar je u tome da se ne-prirodni brojevi definisu preko skupa i "negativne" operacije preko "pozitivnih" operacija ili jos bolje preko unije i negacije. Smatram da je mnogo ispravnije broj [inlmath]1[/inlmath] i operaciju oduzimanja (ali ne i sabiranja, mnozenja, deljenja, stepenovanja, korenovanja...) definisati aksiomatski (ukoliko uopste ima potrebe, odnosno ako postoji nacin da se sve gore navedeno predstavi aksiomama iz ZFC-a).
Gotovo sam siguran da postoji bolji sistem aksioma, ispravniji i apstraktniji, za one koji ne zele da budu u Kantorovom raju, vec zele da posmatraju i shvataju bogatiji univerzum matematike... Ako postoji bilo koji sistem aksioma za koji mislite da moze da predstavi gore navedene stavke, molim vas recite mi.

Pozdrav svima
Korisnikov avatar
 
Postovi: 3
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Definisanje ne-prirodnih brojeva preko ZFC aksioma

Postod Onomatopeja » Utorak, 09. Maj 2017, 23:51

Pomocu [inlmath]\sf ZFC[/inlmath] aksioma se mogu uvesti i celi brojevi, tj. racionalni, pa i realni. Npr. na [inlmath]\mathbb{N} \times \mathbb{N}[/inlmath] se moze uvesti relacija [inlmath](a,b) \sim(c,d)[/inlmath] akko [inlmath]a+d=b+c[/inlmath] (ideja je da [inlmath](a,b)[/inlmath] predstavlja ceo broj [inlmath]a-b[/inlmath]). Proverava se da je u pitanju jedna relacija ekvivalencije i tada cele brojeve dobijamo kada skup [inlmath]\mathbb{N} \times \mathbb{N}[/inlmath] posecemo po relaciji [inlmath]\sim[/inlmath], tj. [inlmath]\mathbb{Z} = \mathbb{N} \times \mathbb{N} /_\sim[/inlmath]. Tada definisemo aritmeticke operacije na [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] kao [inlmath](a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)[/inlmath] i [inlmath](a,b)\cdot(c,d)=(ac+bd,ad+bc)[/inlmath]. Slicno, ako [inlmath]\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})[/inlmath] posecemo po relaciji ekivalencije (definisanoj na tom skupu) [inlmath](a,b) \sim(c,d)[/inlmath] akko [inlmath]a \cdot d = b \cdot c[/inlmath], onda cemo dobiti racionalne brojeve. Posle se preko Dedekindovih zaseka uvode realni brojevi. To su standardne konstrukcije (ne i jedine (npr. negativne cele brojeve mozemo uvesti i kao [inlmath]-n = n \cup \{\mathbb{N}\}[/inlmath], za [inlmath]n \in \mathbb{N}[/inlmath])), tj. verujem da je sve lako izgugljivo.

Ako te interesuju jos neki sistemi (s tim da [inlmath]\sf ZFC[/inlmath] sasvim fino radi posao), mozes pogledati i:

- Homotopy Type Theory ([inlmath]\sf HoTT[/inlmath])
- Elementary Theory of the Category of Sets ([inlmath]\sf ETCS[/inlmath]), ima 10 aksioma, a dodavanjem aksiome o zameni (grubo prevodeci) dobijamo sistem ([inlmath]\sf ETCS+R[/inlmath]) koji (u neku ruku) daje isto koliko i [inlmath]\sf ZFC[/inlmath] sistem
- Von Neumann–Bernays–Gödel ([inlmath]\sf NBG[/inlmath] (ne, nije Novi Beograd))
- Morse–Kelley set theory ([inlmath]\sf MK[/inlmath])
- New Foundations ([inlmath]\sf NFU[/inlmath])
- i mnogi drugi

Dosta zavisi i od toga sa kog aspekta se sve posmatra, da li gledamo iz ugla teorije skupova ili teorije kategorija.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Definisanje ne-prirodnih brojeva preko ZFC aksioma

Postod Abyzou97 » Sreda, 10. Maj 2017, 01:23

Hvala na brzom i preciznom odgovoru. Pogledacu sve sisteme u potrazi za meni najkorisnijim... Zelim da definisem brojeve koji su izmedju skupa realnih ([inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]) i skupa kompleksnih ([inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]) brojeva. Na primer, [inlmath]\sqrt[x]2[/inlmath], mozemo svrstati u realne brojeve za svako realno [inlmath]x[/inlmath] (osim nule valjda), a [inlmath]\sqrt[x]{-2}[/inlmath] u kompleksne brojeve za svako celo [inlmath]x[/inlmath]... Mene zanima sta bi bilo da je [inlmath]x=\sqrt{-2}[/inlmath]... Isto i kako ovakve i realne brojeve izraziti iskljucivo preko uredjenog para na koji je primenjena samo i iskljucivo jedna operacija poput sabiranja, oduzimanja, mnozenja, deljenja... Moja ideja je da kao sto smo definisali skupove celih i racionalnih brojeva, da definisemo dalje...
[dispmath]\mathbb{Z}=\{-(a,b)\mid a\in\mathbb{N}\land b\in\mathbb{N}\}\\
\mathbb{Q}=\{:(a,b)\mid a\in\mathbb{N}\land b\in\mathbb{N}\}\\
\mathbb{S_3}=\{\sqrt{}(a,b)\mid a\in\mathbb{N}\land b\in\mathbb{N}\}\\
\mathbb{S_3'}=\{\log(a,b)\mid a\in\mathbb{N}\land b\in\mathbb{N}\}[/dispmath] I tako dalje... Znamo da definisemo najvise prebrojivo mnogo "pozitivnih" operacija niza, a sve od njih koje su nekomutativne imaju dve odgovarajuce "negativne" operacije niza (na primer sabiranje i oduzimanje, mnozenje i deljenje, stepenovanje sa korenovanjem i logaritmovanjem)... Zanima me da li bi na ovaj nacin sa prebrojivo mnogo ovakvih nizova (jer imamo i prebrojivo mnogo "negativnih" operacija niza) njihova unija dala sve brojeve koje je moguce konstruisati... Ako bilo koji broj za koji sumnjas da bi se mogao na ovaj nacin konstruisati molim te posalji u odgovoru, s tim sto ove operacije mozemo primeniti najvise prebrojivo puta. Previse razmisljam o ovakvim stvarima, ali mislim da je to jedini put do znanja.

Pozdrav
Korisnikov avatar
 
Postovi: 3
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Definisanje ne-prirodnih brojeva preko ZFC aksioma

Postod Corba248 » Sreda, 10. Maj 2017, 11:25

Abyzou97 je napisao:Na primer, [inlmath]\sqrt[x]2[/inlmath], mozemo svrstati u realne brojeve za svako realno [inlmath]x[/inlmath] (osim nule valjda), a [inlmath]\sqrt[x]{-2}[/inlmath] u kompleksne brojeve za svako celo [inlmath]x[/inlmath]

Opet osim nule, a ako je [inlmath]x[/inlmath] neparno, onda [inlmath]\sqrt[x]2[/inlmath] možemo svrstati u realne brojeve.

Abyzou97 je napisao:Mene zanima sta bi bilo da je [inlmath]x=\sqrt{-2}[/inlmath]...

Kako misliš šta bi bilo? Opet bismo ga svrstali u kompleksne brojeve.

Abyzou97 je napisao:Zelim da definisem brojeve koji su izmedju skupa realnih ([inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]) i skupa kompleksnih ([inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]) brojeva.

Možda si mislio na nadrealne brojeve (u mom slobodnom prevodu, inače na engleskom surreal)?

Ono što ja znam o definisanju realnih brojeva preko uređenih parova je da je to vrlo komplikovano (za razliku od, recimo, celih), tako da ti tu ne mogu pomoći. No, nemoj da te ovo obeshrabri, možda i nije toliko komplikovano, zaista ne bih znao :oops: . Inače, poprilično sam siguran da ćeš i na netu moći da nađeš dosta o tome. :)
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Definisanje ne-prirodnih brojeva preko ZFC aksioma

Postod Abyzou97 » Četvrtak, 11. Maj 2017, 13:31

Evo mene opet... Onomatopejo, hvala na predlozima, malo sam proucio sisteme koje si predlozio poslednjih dana... Isto, Corbo na predlozima vezanim za moje primere... Ako je neophodno matematiku bazirati na skupovima na kakve nailazimo u ZFC sistemu, onda mi najvise odgovara MK(Tarski) sistem, jer je jaci od NGB-a i ZFC-a. Da vam svima stvar bude jasnija, reci su vam moju ideju... Treba mi aksiomatski sistem koji ima sledece osobine:

1) Postoji prebrojivo mnogo elemenata (sto je nezamislivo u ZFC-u, i uz to postoji "skup svih skupova").
2) Postoje iskljucivo uredjeni parovi (n-torke), koje uz apsolutnu vrednost daju nase skupove.
[dispmath]\vert(a,a,a,b,b,c,d,e,f...)\vert \iff \left\{a,a,a,b,b,c,d,e,f...\right\}[/dispmath]
uz to sto ne vazi i
[dispmath]\lnot(\left\{a,a,a,b,b,c,d,e,f...\right\} \iff \left\{a,b,c,d,e,f...\right\})[/dispmath]
3) Za svako razmatranje objekata razlicite prirode moramo da definisemo sistem subjekta (pravila po kojima reaguju objekti iste prirode). Na primer, objekti razlicite prirode su slova, brojevi, skupovi, i sve ih je moguce svesti na univerzalne pojmove (kako je to (slabije) uradjeno ZFC sistemom).
4) Za svaki rad sa objektima moramo konstruisati te objekte (iz aksioma) i raditi u najvise prebrojivoj dimenziji.

Ovakav sistem za posledice ima jako strogo definisanu oblast rada, ali baziran je na mom shvatanju univerzuma koji se svodi na to da postoji beskonacno-dimenzionalna velicina cijom diferencijom konstruisu objekti, koji dalje konstruisu subjekte koji uvode "zapazanja". (Nemojte se smejati molicu ;) ) Reci, misli, osecanja, formule, zakone fizike i samu prirodu brojeva i relacija mozemo svesti na gore definisano... Ako vas zanima kako definisem bilo sta, pisite mi pa cu vam definisati u odgovoru... Jos jedna posledica (na kojoj trenutno radim) je to da bi realni brojevi bili prebrojivi (samim tim naravno i iracionalni), sto bi znacilo da CH ni ovde ni u ZFC-u ne bi vazilo (dokaz za ZFC verovatno necu uspeti da uradim...).

Pozdrav svima, voleo bih da cujem svaku vrstu kritike, makar bila i zasnovana na "Nije nam bitno razmatranje prirode brojeva i relacija".
Korisnikov avatar
 
Postovi: 3
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 24 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs