Ukupan broj preslikavanja – prijemni ETF 2017.
Poslato: Utorak, 11. Jul 2017, 15:20
20. zadatak
Dat je skup [inlmath]A=\{1,2,3,4,5,6,7\}[/inlmath]. Ukupan broj preslikavanja [inlmath]f\colon A\to A[/inlmath] takvih da vazi [inlmath](\forall k\in A)\Bigl(f(k)\ne\min\{k,3\}\land\bigl(k>3\;\Longrightarrow\;f(k)<k-2\bigr)\Bigr)[/inlmath]
Kada je
[inlmath]k=1\;\Longrightarrow\;f(1)\ne\min\{1,3\}\ne1[/inlmath] tako da [inlmath]1[/inlmath] moze da se preslika u ostalih sest brojeva, ali ne moze u sebe, odnosno [inlmath]1[/inlmath]. Znaci [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti.
[inlmath]k=2\;\Longrightarrow\;f(2)\ne\min\{2,3\}\ne2[/inlmath], tako da opet imamo [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti
[inlmath]k=3\;\Longrightarrow\;f(3)\ne\min\{3,3\}\ne3[/inlmath], opet [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti.
Sada za ostale brojeve, potrebno je posmatrati i drugi uslov, ali takodje ne zanemariti i prvi.
[inlmath]k=4\;\Longrightarrow\;f(4)\ne\min\{4,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(4)<2[/inlmath], sad kako jedini broj koji imamo na raspolaganju a da je manji od [inlmath]2[/inlmath] je [inlmath]1[/inlmath], tako da je [inlmath]f(4)=1[/inlmath]. Znaci [inlmath]1[/inlmath] mogucnost.
[inlmath]k=5\;\Longrightarrow\;f(5)\ne\min\{5,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(5)<3[/inlmath]. I mogucnosti su [inlmath]2[/inlmath] ili je broj [inlmath]1[/inlmath] ili broj [inlmath]2[/inlmath].
[inlmath]k=6\;\Longrightarrow\;f(6)\ne\min\{6,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(6)<4[/inlmath]. Gde imamo tri mogucnosti, medjutim, treca mogucnost odnosno trojka se izbacuje jer iz prvog uslova imamo da je [inlmath]f(6)\ne3[/inlmath]. Tako da opet [inlmath]2[/inlmath] mogucnosti.
[inlmath]k=7\;\Longrightarrow\;f(7)\ne\min\{7,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(7)<5[/inlmath]. Gde imamo cetiri mogucnosti, medjutim jedna od tih mogucnosti se izbacuje, to je trojka, iz istih razloga kao za [inlmath]k=6[/inlmath]. Znaci [inlmath]3[/inlmath] mogucnosti.
[dispmath]6\cdot6\cdot6\cdot1\cdot2\cdot2\cdot3=\enclose{box}{2592}[/dispmath]
Dat je skup [inlmath]A=\{1,2,3,4,5,6,7\}[/inlmath]. Ukupan broj preslikavanja [inlmath]f\colon A\to A[/inlmath] takvih da vazi [inlmath](\forall k\in A)\Bigl(f(k)\ne\min\{k,3\}\land\bigl(k>3\;\Longrightarrow\;f(k)<k-2\bigr)\Bigr)[/inlmath]
Kada je
[inlmath]k=1\;\Longrightarrow\;f(1)\ne\min\{1,3\}\ne1[/inlmath] tako da [inlmath]1[/inlmath] moze da se preslika u ostalih sest brojeva, ali ne moze u sebe, odnosno [inlmath]1[/inlmath]. Znaci [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti.
[inlmath]k=2\;\Longrightarrow\;f(2)\ne\min\{2,3\}\ne2[/inlmath], tako da opet imamo [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti
[inlmath]k=3\;\Longrightarrow\;f(3)\ne\min\{3,3\}\ne3[/inlmath], opet [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti.
Sada za ostale brojeve, potrebno je posmatrati i drugi uslov, ali takodje ne zanemariti i prvi.
[inlmath]k=4\;\Longrightarrow\;f(4)\ne\min\{4,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(4)<2[/inlmath], sad kako jedini broj koji imamo na raspolaganju a da je manji od [inlmath]2[/inlmath] je [inlmath]1[/inlmath], tako da je [inlmath]f(4)=1[/inlmath]. Znaci [inlmath]1[/inlmath] mogucnost.
[inlmath]k=5\;\Longrightarrow\;f(5)\ne\min\{5,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(5)<3[/inlmath]. I mogucnosti su [inlmath]2[/inlmath] ili je broj [inlmath]1[/inlmath] ili broj [inlmath]2[/inlmath].
[inlmath]k=6\;\Longrightarrow\;f(6)\ne\min\{6,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(6)<4[/inlmath]. Gde imamo tri mogucnosti, medjutim, treca mogucnost odnosno trojka se izbacuje jer iz prvog uslova imamo da je [inlmath]f(6)\ne3[/inlmath]. Tako da opet [inlmath]2[/inlmath] mogucnosti.
[inlmath]k=7\;\Longrightarrow\;f(7)\ne\min\{7,3\}\ne3[/inlmath], iz drugog uslova imamo da je [inlmath]f(7)<5[/inlmath]. Gde imamo cetiri mogucnosti, medjutim jedna od tih mogucnosti se izbacuje, to je trojka, iz istih razloga kao za [inlmath]k=6[/inlmath]. Znaci [inlmath]3[/inlmath] mogucnosti.
[dispmath]6\cdot6\cdot6\cdot1\cdot2\cdot2\cdot3=\enclose{box}{2592}[/dispmath]