Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Ispitati relaciju ekvivalencije

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Ispitati relaciju ekvivalencije

Postod wolf11 » Sreda, 30. Avgust 2017, 16:19

U skupu [inlmath]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}[/inlmath] definisana je binarna relacija [inlmath]\rho[/inlmath] sa
[dispmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\iff a\cdot d=b\cdot c[/dispmath] Ispitati da li je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije. Ukoliko jeste naci sve klase ekvivalencije.

Kako sam ja ovo uradio, ovo jeste relacija ekvivalencije.

Refleksivnost vazi jer [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(a,b\right)\iff a\cdot b=b\cdot a[/inlmath] odakle se vidi da vrijedi.

Simetricnost takodje vrijedi [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\iff a\cdot d=b\cdot c\iff b\cdot c=a\cdot d\iff c\cdot b=d\cdot a\iff\left(c,d\right)\rho\left(a,b\right)[/inlmath].

Vrijedi i tranzitivnost [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\land\left(c,d\right)\rho\left(e,f\right)[/inlmath] jer se nakon svog sredjivanja sad dobija [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(e,f\right)[/inlmath].

Nadam se da nisam nigdje pogrijesio do sad, nadam se da ce neko sve ovo i provjeriti i ukazati mi na greske. Meni nije jasno sad kako se radi ovaj drugi dio zadatka, tj. ove klase ekvivalencije??
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Ispitati relaciju ekvivalencije

Postod Igor » Sreda, 30. Avgust 2017, 18:04

:correct: Jeste relacija ekvivalencije. Što se tiče postupka, iako si ga napisao u skraćenom obliku, ja razumem šta si uradio, i mislim da je korektan (možda će neko iskusniji naći neku zamerku :) ). Jedna od klasa ekvivalencije u ovom zadatku bila bi, na primer: [inlmath]C_{(3,8)}={(4,6)}[/inlmath], znači da je za [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath], [inlmath]c=4[/inlmath] i [inlmath]d=6[/inlmath]. Ovo je primer koji mi je prvi pao na pamet, a neko će već napisati da li mi je zapis i način razmišljanja korektan. Ja bih rekao da ovakvih primera (klasa ekvivalencije) ima beskonačno mnogo na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath].
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 88
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 73 puta

  • +1

Re: Ispitati relaciju ekvivalencije

Postod Daniel » Četvrtak, 31. Avgust 2017, 00:26

Igor je napisao:Što se tiče postupka, iako si ga napisao u skraćenom obliku, ja razumem šta si uradio, i mislim da je korektan (možda će neko iskusniji naći neku zamerku :) ).

Kol'ko sam iskusniji ne znam, ali zamerku na nalazim, :) postupak je OK.

Igor je napisao:Jedna od klasa ekvivalencije u ovom zadatku bila bi, na primer: [inlmath]C_{(3,8)}={(4,6)}[/inlmath], znači da je za [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath], [inlmath]c=4[/inlmath] i [inlmath]d=6[/inlmath].

Moguće da nisam dobro razumeo tvoje oznake, ali [inlmath](3,8)[/inlmath] ne spada u istu klasu evkivalencije kao [inlmath](4,6)[/inlmath], budući da [inlmath](3,8)[/inlmath] nije u relaciji sa [inlmath](4,6)[/inlmath] (jer [inlmath]3\cdot6[/inlmath] nije jednako [inlmath]8\cdot4[/inlmath]).

Osim toga, klasa ekvivalencije predstavlja skup, a ne jedan element. Možda je greška u Latexu, tj. možda si hteo da [inlmath](4,6)[/inlmath] staviš unutar vitičastih zagrada – u Latexu se vitičaste zagrade postižu sa \{ i \} a ne sa { i } – ali, svejedno, opet klasa ekvivalencije u ovom slučaju nije skup sa samo jednim elementom.

Iz [inlmath]a\cdot d=b\cdot c[/inlmath] sledi da je [inlmath]a:b=c:d[/inlmath], tj. element [inlmath](a,b)[/inlmath] biće u relaciji s bilo kojim elementom [inlmath](\lambda a,\lambda b)[/inlmath], gde je [inlmath]\lambda\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}[/inlmath] takvo da je [inlmath]\lambda a\in\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]\lambda b\in\mathbb{Z}[/inlmath].
Npr. [inlmath](2,3)[/inlmath] biće u relaciji sa [inlmath](4,6)[/inlmath], sa [inlmath](6,9)[/inlmath], sa [inlmath](-2,-3)[/inlmath], sa [inlmath](-4,-6)[/inlmath] itd. i to će biti klasa ekvivalencije [inlmath]C_{(2,3)}[/inlmath].
Isto tako, [inlmath](12,15)[/inlmath] biće u relaciji sa [inlmath](4,5)[/inlmath], sa [inlmath](8,10)[/inlmath], sa [inlmath](-4,-5)[/inlmath] itd. i to će biti klasa ekvivalencije [inlmath]C_{(4,5)}[/inlmath].

Igor je napisao:Ja bih rekao da ovakvih primera (klasa ekvivalencije) ima beskonačno mnogo na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath].

Tako je, jer u svakoj od tih klasa ekvivalencije uvek se nalazi tačno jedan element koji predstavlja uređeni par međusobno prostih brojeva pri čemu je prvi broj pozitivan (u prvom primeru od malopre to je [inlmath](2,3)[/inlmath], a u drugom primeru to je [inlmath](4,5)[/inlmath]), a budući da takvih uređenih parova možemo napraviti beskonačno mnogo, samim tim ima i beskonačno mnogo klasa ekvivalencije. Dakle, [inlmath](1,1)[/inlmath], [inlmath](1,2)[/inlmath], [inlmath](1,3)[/inlmath]... [inlmath](2,3)[/inlmath], [inlmath](2,5)[/inlmath]... [inlmath](3,4)[/inlmath], [inlmath](3,5)[/inlmath] itd., svi takvi uređeni parovi (a ima ih beskonačno mnogo) pripadaju različitim klasama ekvivalencije.
Takođe, svaka od tih klasa ekvivalencije ima beskonačno mnogo elemenata, budući da od brojeva u uređenom paru možemo napraviti beskonačno mnogo celobrojnih umnožaka – tj. od [inlmath](a,b)[/inlmath] možemo napraviti [inlmath](2a,2b)[/inlmath], [inlmath](3a,3b)[/inlmath], [inlmath](4a,4b)[/inlmath]... [inlmath](-a,-b)[/inlmath], [inlmath](-2a,-2b)[/inlmath]... i svi će oni pripadati istoj klasi ekvivalencije.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

  • +1

Re: Ispitati relaciju ekvivalencije

Postod Igor » Četvrtak, 31. Avgust 2017, 07:42

Hvala na dopuni mom postu, i meni je sada dosta jasnije :) A što se tiče mog primera, vidim i ja sada da nije u redu, u brzini sam omašio
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 88
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 73 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 17. Februar 2020, 16:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs