Ispitati relaciju ekvivalencije
Poslato: Sreda, 30. Avgust 2017, 16:19
U skupu [inlmath]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}[/inlmath] definisana je binarna relacija [inlmath]\rho[/inlmath] sa
[dispmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\iff a\cdot d=b\cdot c[/dispmath] Ispitati da li je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije. Ukoliko jeste naci sve klase ekvivalencije.
Kako sam ja ovo uradio, ovo jeste relacija ekvivalencije.
Refleksivnost vazi jer [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(a,b\right)\iff a\cdot b=b\cdot a[/inlmath] odakle se vidi da vrijedi.
Simetricnost takodje vrijedi [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\iff a\cdot d=b\cdot c\iff b\cdot c=a\cdot d\iff c\cdot b=d\cdot a\iff\left(c,d\right)\rho\left(a,b\right)[/inlmath].
Vrijedi i tranzitivnost [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\land\left(c,d\right)\rho\left(e,f\right)[/inlmath] jer se nakon svog sredjivanja sad dobija [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(e,f\right)[/inlmath].
Nadam se da nisam nigdje pogrijesio do sad, nadam se da ce neko sve ovo i provjeriti i ukazati mi na greske. Meni nije jasno sad kako se radi ovaj drugi dio zadatka, tj. ove klase ekvivalencije??
[dispmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\iff a\cdot d=b\cdot c[/dispmath] Ispitati da li je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije. Ukoliko jeste naci sve klase ekvivalencije.
Kako sam ja ovo uradio, ovo jeste relacija ekvivalencije.
Refleksivnost vazi jer [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(a,b\right)\iff a\cdot b=b\cdot a[/inlmath] odakle se vidi da vrijedi.
Simetricnost takodje vrijedi [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\iff a\cdot d=b\cdot c\iff b\cdot c=a\cdot d\iff c\cdot b=d\cdot a\iff\left(c,d\right)\rho\left(a,b\right)[/inlmath].
Vrijedi i tranzitivnost [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(c,d\right)\land\left(c,d\right)\rho\left(e,f\right)[/inlmath] jer se nakon svog sredjivanja sad dobija [inlmath]\left(a,b\right)\rho\left(e,f\right)[/inlmath].
Nadam se da nisam nigdje pogrijesio do sad, nadam se da ce neko sve ovo i provjeriti i ukazati mi na greske. Meni nije jasno sad kako se radi ovaj drugi dio zadatka, tj. ove klase ekvivalencije??