Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Unija i presjek familije skupova

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Unija i presjek familije skupova

Postod ffuis2k17 » Nedelja, 10. Decembar 2017, 10:26

Pozdrav svima! Treba mi pomoć oko sljedećeg zadatka, ima li neko ideju kako se ovo radi, mnogo bi mi pomogao. :)

Neka je [inlmath](A_i)_{i\in I}[/inlmath] familija skupova i neka je [inlmath]I=\bigcup\limits_{k\in K}J_k[/inlmath]. Dokazati da važe jednakosti:
[dispmath]\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{k\in K}\left(\bigcup_{i\in J_k}A_i\right)\\
\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcap_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_i\right)[/dispmath]
 
Postovi: 2
Lokacija: Pale, BiH
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Unija i presjek familije skupova

Postod Daniel » Nedelja, 10. Decembar 2017, 14:28

Pozdrav, vidimo da [inlmath]i[/inlmath] predstavlja indekse skupova, a pošto [inlmath]i\in I[/inlmath], to znači da je [inlmath]I[/inlmath] neki skup indeksa skupova (npr. ako su indeksi skupova prirodni brojevi, tada je i [inlmath]I[/inlmath] skup prirodnih brojeva).
Takođe, pošto je [inlmath]I=\bigcup\limits_{k\in K}J_k[/inlmath], to znači da su i elementi skupova [inlmath]J_k[/inlmath] (za bilo koje [inlmath]k[/inlmath] iz skupa [inlmath]K[/inlmath]) takođe indeksi skupa.

Možda to bude jasnije na jednom primeru. Ako je [inlmath]I=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots\}[/inlmath] (tj. skup prirodnih brojeva), a [inlmath]K[/inlmath] skup parnih brojeva, [inlmath]K=\{2,4,6,8,\ldots\}[/inlmath], tada ćemo imati skupove [inlmath]J_2[/inlmath], [inlmath]J_4[/inlmath], [inlmath]J_6[/inlmath] itd. Tada možemo npr. imati [inlmath]J_2=\{3,4,7\}[/inlmath], [inlmath]J_4=\{1,3,5,8\}[/inlmath], [inlmath]J_6=\{2,4,6,9\}[/inlmath] itd, ali njihova unija mora biti skup [inlmath]I[/inlmath] (koji je u ovom primeru skup prirodnih brojeva (pri tome, skupovi [inlmath]J_k[/inlmath] ne moraju biti međusobno disjunktni). Pošto je [inlmath]I[/inlmath] skup prirodnih brojeva, [inlmath]A_i[/inlmath] će biti skupovi [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]A_2[/inlmath], [inlmath]A_3[/inlmath], [inlmath]A_4[/inlmath] itd.

Ovo je bio primer, kako bih to malo pokušao da približim. Vratimo se na opšti slučaj. Neka je [inlmath]K=\{k_1,k_2,k_3,\ldots\}[/inlmath]. Tada ćemo imati skupove [inlmath]J_{k_1},J_{k_2},J_{k_3},\ldots[/inlmath]
Njihovi elementi će biti
[dispmath]J_{k_1}=\{j_{11},j_{12},j_{13},\ldots\}\\
J_{k_2}=\{j_{21},j_{22},j_{23},\ldots\}\\
J_{k_3}=\{j_{31},j_{32},j_{33},\ldots\}[/dispmath] Pošto je [inlmath]I[/inlmath] unija svih tih skupova ([inlmath]I=J_{k_1}\cup J_{k_2}\cup J_{k_3}\cup\cdots[/inlmath]), elementi skupa [inlmath]I[/inlmath] biće
[dispmath]I=\{j_{11},j_{12},j_{13},\ldots,j_{21},j_{22},j_{23},\ldots,j_{31},j_{32},j_{33},\ldots\}[/dispmath] Ti sad u izrazu [inlmath]\bigcup\limits_{k\in K}\left(\bigcup\limits_{i\in J_k}A_i\right)[/inlmath], koji predstavlja desnu stranu jednakosti koju treba dokazati, prvo razviješ spoljašnju uniju, onu koja ide po [inlmath]k[/inlmath], a nakon što to uradiš razvij i svaku od unutrašnjih unija (one koje idu po [inlmath]J_{k_1}[/inlmath], [inlmath]J_{k_2}[/inlmath] itd. Na kraju bi trebalo, znajući koji su elementi skupa [inlmath]I[/inlmath], da to svedeš na uniju skupa po elementima [inlmath]I[/inlmath]. Pokušaj tako, pa javi da l' si uspeo.

Slično i za presek.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 25. Septembar 2020, 11:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs