Bijekcija skupova

PostPoslato: Nedelja, 10. Decembar 2017, 09:33
od ffuis2k17
Treba mi pomoć oko ovog preslikavanja tj. kako da uradim prvo injekciju i surjekciju (ako prvo to moram uraditi) da bi imao uslov za bijekciju? Ima li neko ideju?
Slijedi zadatak:
Konstruisati bijekciju sa skupa [inlmath](0,1)[/inlmath] na skup [inlmath](2016,+\infty)[/inlmath].

Re: Bijekcija skupova

PostPoslato: Nedelja, 10. Decembar 2017, 13:02
od Daniel
Možeš konstruisati takvu funkciju kod koje će važiti [inlmath]f(0)=2016[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=+\infty[/inlmath] i koja će biti neprekidna i monotono rastuća na celom intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath]. Ako funkcija ispunjava sve navedene uslove, ona je tada injekcija (jer zbog toga što je monotono rastuća ne postoje dve različite vrednosti iz intervala [inlmath](0,1)[/inlmath] koje se preslikavaju u istu vrednost), a takođe je i surjekcija (jer se, zbog neprekidnosti funkcije, kao i njene vrednosti u krajnjim tačkama intervala [inlmath](0,1)[/inlmath], u svaku tačku iz intervala [inlmath](2016,+\infty)[/inlmath] preslikava neka vrednost iz [inlmath](0,1)[/inlmath]). Budući da je funkcija i injektivna i surjektivna, sledi da je bijekcija.

Ostalo je još da konstruišeš funkciju s navedenim osobinama. Budući da za [inlmath]x\to1^-[/inlmath] vrednost funkcije teži ka beskonačnosti, zgodno je postaviti da to bude neki razlomak čiji će imenilac za [inlmath]x\to1^-[/inlmath] težiti nuli (i to preko pozitivnih vrednosti).
'Oćeš da pokušaš tako?

Re: Bijekcija skupova

PostPoslato: Utorak, 04. Septembar 2018, 12:16
od Nađa
Da li za primer takve jedne funkcije moze da se uzme [inlmath]f(x)=\frac{2016}{1-x}[/inlmath]?

Re: Bijekcija skupova

PostPoslato: Utorak, 04. Septembar 2018, 15:35
od Igor
@Nađa, ja mislim da tvoj primer jeste primer funkcije koja je bijekcija, ali da nije ispunjeno da slika [inlmath](0,1)[/inlmath] u [inlmath](2016,+\infty)[/inlmath].

Re: Bijekcija skupova

PostPoslato: Utorak, 04. Septembar 2018, 16:13
od Nađa
Zasto nije ispunjeno?

Re: Bijekcija skupova

PostPoslato: Utorak, 04. Septembar 2018, 19:57
od Igor
Verovatno si u pravu. Moja greska, ja sam crtao grafik ove funkcije sa domenom [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i onda sam zbog toga napravio previd. Kada se "suzi" domen na [inlmath](0,1)[/inlmath] funkcija ce zadovoljiti trazene uslove.

Re: Bijekcija skupova

PostPoslato: Utorak, 04. Septembar 2018, 21:18
od Daniel
Nađa je napisao:Da li za primer takve jedne funkcije moze da se uzme [inlmath]f(x)=\frac{2016}{1-x}[/inlmath]?

Upravo na tu funkciju sam i „ciljao“...