Unija partitivnog skupa

PostPoslato: Subota, 16. Decembar 2017, 16:43
od roshoo
Dokazati da za svaki skup [inlmath]a[/inlmath] vazi jednakost [inlmath]a = \bigcup \mathcal{P}(a)[/inlmath]

Imamo aksiomu partitivnog skupa: [inlmath]\forall a \exists y \forall x ( x \in y\iff\forall t(t \in x \Rightarrow t \in a))[/inlmath]
ili krace: [inlmath]\forall a \exists y \forall x ( x \in y\iff x \subseteq a)[/inlmath]

i aksiomu unije: [inlmath]\forall a \exists y \forall x ( x \in y\iff\exists t(t\in a\land x\in t))[/inlmath]

Pokusao sam ovako
[dispmath]a'\in a \enspace \text{proizvoljno}\\
\{a'\}\subseteq a\\
x\in\mathcal{P}(a)\iff x\subseteq a \quad (x=\{a'\})\\
\{a'\} \subseteq a\quad \Rightarrow\quad \{a'\}\in\mathcal{P}(a)\\
x\in \bigcup a\iff \exists t(t \in a \land x \in t)\quad \land \quad\{a'\} \in \mathcal{P}(a)\quad \land \quad a'\in\{a'\}\\
\Rightarrow\quad a'\in \bigcup \mathcal{P}(a) \quad \Rightarrow\quad a \subseteq \bigcup \mathcal{P}(a)\\[/dispmath]

Ne znam kako da dokazem da je [inlmath]a \supseteq \bigcup \mathcal{P}(a)[/inlmath] i da li je uopste potrebno da se radi na taj nacin ili je moguce da se odmah dokaze jednakost. Los sam u formalnom zapisivanju, nisam siguran ni da je ovo sto sam uradio tacno, help.