Ispravno si ispitao refleksivnost i simetričnost.
wolf11 je napisao:a asistent je spomenuo posto je skup mali da se to moze rucno ispitati za sve elemente da vrijedi.
Skup jeste mali, ali broj mogućnosti za ispitivanje tranzitivnosti baš i nije, ima ih [inlmath]60[/inlmath]. Bilo bi ih i više da refleksivnost i simetričnost nisu već dokazane (sad ću malo da gušim s kombinatorikom, ali koga ne zanima može i da preskoči ovaj pasus jer i nije previše bitan za rešavanje ovog zadatka). Ovako s refleksivnošću i simetričnošću, svi iskazi u kojima se jedan element ponavlja, npr. [inlmath]a\rho b\;\land\;b\rho b\;\Longrightarrow\;a\rho b[/inlmath], automatski su tačni zbog refleksivnosti, a takođe i iskaz tipa [inlmath]a\rho b\land b\rho c\;\Longrightarrow\;a\rho c[/inlmath] ekvivalentan je iskazu [inlmath]c\rho b\land b\rho a\;\Longrightarrow\;c\rho a[/inlmath] (zbog simetričnosti), tako da, nakon što izaberemo vrednost za [inlmath]b[/inlmath] (što možemo učiniti na [inlmath]6[/inlmath] načina budući da imamo [inlmath]6[/inlmath] elemenata skupa), treba da od preostalih [inlmath]5[/inlmath] elemenata izaberemo [inlmath]2[/inlmath] koja ćemo dodeliti oznakama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] (pri čemu redosled ta dva elementa nije bitan, zbog prethodno pokazanog). Znači, [inlmath]6\cdot{5\choose2}=60[/inlmath] mogućnosti.
wolf11 je napisao:Da li to znaci da ja mogu da uzmem na primjer [inlmath]\left(-2\right)\rho\left(-1\right)\land\left(-1\right)\rho\,0\;\Longrightarrow\;\left(-2\right)\rho\,0[/inlmath] pa da sad pokazem da su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji, da je [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji i da pokazem da je [inlmath]-2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]0[/inlmath], te da tako ispitam za sve brojeve iz skupa [inlmath]S[/inlmath]
Otprilike. Nisi se baš dobro izrazio, jer ne treba da pokažeš da su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji i da su elementi [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji, već treba da pokažeš da,
ako su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji i elementi [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji,
tada će elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] biti u relaciji.
Ukoliko utvrdiš da početna pretpostavka ne važi, tj. da ili [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] nisu u relaciji ili [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] nisu u relaciji, nemaš šta dalje da ispituješ za taj slučaj – implikacija je sigurno tačna, jer je tačna uvek kada pretpostavka nije tačna ([inlmath]\bot\;\Longrightarrow\top[/inlmath] i [inlmath]\bot\;\Longrightarrow\bot[/inlmath] su tačne implikacije).
wolf11 je napisao:ili ima neki laksi nacin da se to dokaze?
Možeš posmatrati tri slučaja – [inlmath]b\ge1[/inlmath], [inlmath]b=0[/inlmath] i [inlmath]b\le-1[/inlmath].
Za [inlmath]b\ge1[/inlmath] implikacija [inlmath]2ab\ge a+b\;\land\;2bc\ge b+c\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/inlmath] svodi se na
[dispmath]2ab-a\ge b\;\land\;2bc-c\ge b\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c\\
a(2b-1)\ge b\;\land\;c(2b-1)\ge b\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/dispmath] pa pošto je [inlmath]b[/inlmath] pozitivno biće i [inlmath]2b-1[/inlmath] pozitivno, pa nejednakosti smemo deliti tim izrazom bez promene smera znaka nejednakosti:
[dispmath]a\ge\frac{b}{2b-1}\;\land\;c\ge\frac{b}{2b-1}\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/dispmath] Za [inlmath]b\ge1[/inlmath] razlomak [inlmath]\frac{b}{2b-1}[/inlmath] biće u intervalu [inlmath]\Bigl(\frac{1}{2},1\Bigr][/inlmath], iz čega sledi
[dispmath]a\ge1\;\land\;c\ge1\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/dispmath] Ovu implikaciju nije teško dokazati, jer se desna strana može napisati kao [inlmath]a(2c-1)\ge c[/inlmath], a pošto je [inlmath]c\ge1[/inlmath] tada će [inlmath]2c-1[/inlmath] biti pozitivno pa njime delimo nejednakost bez promene smera znaka nejednakosti, tj. [inlmath]a\ge\frac{c}{2c-1}[/inlmath], a pošto je [inlmath]\frac{c}{2c-1}\le1[/inlmath] a [inlmath]a\ge1[/inlmath], nejednakost (a samim tim i implikacija) time je dokazana.
Za [inlmath]b=0[/inlmath] iskaz [inlmath]a\rho b\;\land\;b\rho c\;\Longrightarrow\;a\rho c[/inlmath] svodi se na [inlmath]0\ge a\;\land\;0\ge c\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/inlmath], što je prilično očigledno da je tačan iskaz (ako ni [inlmath]a[/inlmath] ni [inlmath]c[/inlmath] nisu pozitivni, tada je [inlmath]2ac\ge0[/inlmath], dok mora biti [inlmath]a+c\le0[/inlmath], tako da mora važiti [inlmath]2ac\ge a+c[/inlmath]).
Prepuštam tebi da odradiš za slučaj [inlmath]b\le-1[/inlmath].