Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Skupovi

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Skupovi

Postod ubavic » Sreda, 14. Avgust 2013, 14:15

Sledeći tekst je namenjen svima koji žele da nauče nešto o skupovima. Tekst bi trebalo da sadrži svu teoriju skupova koja se obrađuje u gimnazijama (ako sam nešto propustio, pošaljite PP).


Svima je intuitivno jasno o čemu se radi kada kažemo skup. Zbog toga, u matematici se pojam skupa ne definiše, jer je skup najosnovniji pojam matematike. Tvorac teorije skupova je nemački matematičar Georg Kantor (Georg Cantor; 1845—1918), koji je živeo u devetnaestom veku. Počeci Kantorove teorije javljaju se u njegovom radu o beskonačnim brojevima. Od njegove definicije skupa ova grana matematike počinje ubrzano da se razvija i počinju da se javljaju velike rupe u teoriji. Ubrzo je, zbog problema s Kantorovom teorijom, konstruisana nova aksiomatska teorija skupova koja se zasniva na strogim pravilima. Ova teorija nema značaj za teoriju skupova koja se uči u srednjoj školi, a koja se naziva još i naivna teorija skupova, ili Kantorova teorija.

Skupove obeležavamo velikim latiničnim slovima [inlmath]A,B,\ldots,X,Y,\ldots[/inlmath] Elemente skupa obeležavamo najčešće malim latiničnim slovima [inlmath]a,b,\ldots,x,y,\ldots[/inlmath] Ako element [inlmath]x[/inlmath] pripada skupu [inlmath]X[/inlmath], onda to označavamo sa [inlmath]x\in X[/inlmath], dok ako element [inlmath]x[/inlmath] ne pripada skupu [inlmath]X[/inlmath], to označavamo sa [inlmath]x\notin X[/inlmath]. Element skupa može biti bilo šta: broj, tačka, linija, jabuka, slovo, galaksija, pa čak i drugi skup. Sve elemente nekog skupa možemo predstaviti na različite načine. Jedan od tih načina je, da između dve vitičaste zagrade nabrojimo sve elemente odvajajući ih zarezom: [inlmath]X=\{x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\}[/inlmath]. Ovaj način je zgodan kada skup ima mali broj elemenata, ali kod većih skupova javlja se potreba za sledećim obeležavanjem elemenata skupa: [inlmath]A=\{x\mid S(x)\}[/inlmath]. Ovo znači da skup [inlmath]A[/inlmath] sačinjavaju svi elementi koji imaju neko svojstvo [inlmath]S[/inlmath]. Npr.: [inlmath]A=\{x\mid2<x<3\}[/inlmath], što znači da su elementi ovog skupa svi oni brojevi, manji od [inlmath]3[/inlmath] a veći od [inlmath]2[/inlmath]. Naravno, sve elemente tog skupa ne možemo napisati, jer ih ima beskonačno. Često se mogući iksevi ograniče samo na neke elemente drugog skupa, pa tako [inlmath]W=\{x\in\mathbb{N}\mid2<x<6\}[/inlmath] označava sve prirodne brojeve veće od dva i manje od šest, tj. [inlmath]\{3,4,5\}[/inlmath]. Treći način obeležavanja skupa je pomoću Vennovog dijagrama. Ovaj način je mnogo intuitivniji od prethodna dva. Crtanjem zatvorene krive linije (kružnice) mi definišemo skup, a elementi tog skupa predstavljaju sve tačke koje se nalaze unutar krive linije. Ova metoda je dobila ime po Englezu Džonu Venu (John Venn; 1834—1923), koji je 1880. prezentovao ovakav način obeležavanja.

Potrebno je napomenuti da postoji pojam praznog skupa, tj. skupa koji nema elemenata. Takav skup obeležavamo sa [inlmath]\emptyset[/inlmath].
U matematici se često koriste neki skupovi, zbog čega su oni obeleženi posebnim slovima da bi se razlikovali od ostalih skupova:
[inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] – skup svih prirodnih brojeva (eng. numbers).
[inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] – skup svih celih brojeva (nem. Zahlen)
[inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] – skup svih racionalnih brojeva, tj. brojeva koji se mogu napisati u obliku [inlmath]\frac{a}{b}[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] celi brojevi, [inlmath]b\ne0[/inlmath] (eng. quotient).
[inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] – skup svih realnih brojeva (eng. real)
[inlmath]\mathbb{I}[/inlmath] – skup svih imaginarnih brojeva (eng. imaginary)
[inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] – skup svih kompleksnih brojeva (eng. complex)
[inlmath]\mathrm{P}[/inlmath] – skup svih prostih brojeva (eng. prime)

Digresija: Obratite pažnju na poseban stil slova kojim se obeležavaju neki od ovih skupova ([inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], a ne [inlmath]C[/inlmath]). Ovaj stil se naziva BlackBoard Bold i popularizovan je u francuskim matematičkim enciklopedijama grupe Bourbaki. Bourbaki je, takođe, uveo znak [inlmath]\emptyset[/inlmath].

Često se pored oznake skupa dodaje mali znak plus ili minus, čime se označavaju pozitivni ili negativni brojevi tog skupa. Npr.: [inlmath]\mathbb{Z}^+[/inlmath] predstavlja sve pozitivne cele brojeve, dok [inlmath]\mathbb{R}^-[/inlmath] predstavlja sve negativne realne brojeve. Takođe, ponekad se govori o nenegativnim i nepozitivnim brojevima. To su brojevi koji su veći od nule uključujući i nulu (nenegativni) i brojevi koji su manji od nule uključujući i nulu (nepozitivni). Takođe, ponekad se dodaje i nula, čime se označava da i nula ulazi u taj skup, npr.: [inlmath]\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,4,\ldots\}[/inlmath]
Napomena: Neki autori smatraju nulu prirodnim brojem, dok drugi autori ne svrstavaju nulu u skup prirodnih brojeva. Međutim, svi se autori slažu da je nula ceo broj.

Kod skupova redosled elemenata, kao i broj ponavljanja nekog elementa, nije bitan.
Npr.: [inlmath]\{a,b,c,d\}=\{c,d,b,a\}=\{d,a,c,b\}=\cdots[/inlmath] ili [inlmath]\{a,a,a,b,c,c\}=\{a,b,c\}[/inlmath]

U radu sa skupovima javlja se potreba da znamo broj elemenata nekog skupa.
Zato se uvodi pojam kardinalnosti. Kardinalni broj nekog skupa prosto označava broj elemenata tog skupa. Kardinalnost skupova se obeležava oznakama [inlmath]\text{card}(A)[/inlmath], [inlmath]\#A[/inlmath], [inlmath]|A|[/inlmath]...
Napomenimo ponovo da broj ponavljanja istog elementa nije bitan, pa tako: [inlmath]\text{card}(\{a,a,a\})=1[/inlmath]. Takođe, kardinalni broj praznog skupa [inlmath]\emptyset[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath].
Skupovi se po svojoj kardinalnosti mogu podeliti na konačne i beskonačne skupove. Kod konačnih skupova kardinalni broj može da bude samo ceo nenegativan broj.

Za dva skupa kažemo da su jednaka ako svaki element prvog skupa pripada drugom skupu i obrnuto, ako svaki element drugog skupa pripada prvom. Jednakost dva skupa beležimo [inlmath]A=B[/inlmath].
[dispmath]A=B\iff(\forall x)(x\in A\iff x\;\in B)[/dispmath]
Osobine ekvivalencije skupova su:
  • [inlmath]A=A[/inlmath] (refleksivnost);
  • [inlmath]A=B\;\Longrightarrow\;B=A[/inlmath] (simetričnost);
  • [inlmath]A=B\land B=C\;\Longrightarrow\;A=C[/inlmath] (tranzitivnost).
Kada je skup deo nekog drugog skupa, to obeležavamo sa [inlmath]\subseteq[/inlmath] (čitamo: podskup). Ovu relaciju između dva skupa možemo definisati na sledeći način: [inlmath]A\subseteq B\iff(\forall x)(x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B)[/inlmath]. Primetimo da je svaki skup podskup samog sebe tj. [inlmath]A\subseteq A[/inlmath] (osobina refleksivnosti), kao i da je prazan skup podskup svakog skupa [inlmath]\emptyset\subseteq A[/inlmath]. Ako je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] i [inlmath]B\subseteq A[/inlmath], odatle sledi da [inlmath]A=B[/inlmath] (osobina antisimetričnosti). Takođe, ako je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] i [inlmath]B\subseteq C[/inlmath] tada je [inlmath]A\subseteq C[/inlmath] (osobina tranzitivnosti). Iz osobina refleksivnosti, antisimetričnosti i tranzitivnosti, zaključujemo da relacija podskupa predstavlja relaciju poretka.
Relacija pravog podskupa se obeležava sa [inlmath]\subset[/inlmath] i označava da je [inlmath]A[/inlmath] podskup nekog skupa [inlmath]B[/inlmath], ali da [inlmath]A\ne B[/inlmath]. Za skup koji je podskup nekog drugog skupa kažemo da se sadrži u tom skupu. Ponekad se govori i o nadskupu [inlmath]A\supset B[/inlmath], što znači da se u skupu [inlmath]A[/inlmath] sadrži skup [inlmath]B[/inlmath] (tj. da je [inlmath]B[/inlmath] podskup skupa [inlmath]A[/inlmath]).

podskup.png
podskup.png (1.1 KiB) Pogledano 21659 puta

Slika: [inlmath]A[/inlmath] je podskup skupa [inlmath]B[/inlmath] (Vennov dijagram)

Primer za relaciju podskupa bili bi dobro poznati skupovi brojeva i njihov međusobni odnos [inlmath]\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}[/inlmath]. Ovaj odnos možemo videti i na sledećoj slici:

skupovi brojeva.png
skupovi brojeva.png (2.7 KiB) Pogledano 21539 puta

Sa slike možemo videti da je skup prirodnih brojeva pravi podskup skupa celih brojeva, što zapisujemo [inlmath]\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}[/inlmath]. Skup celih brojeva je, pak, pravi podskup skupa racionalnih brojeva, tj. [inlmath]\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}[/inlmath]. Slično tome, skup racionalnih brojeva [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] pravi je poskup skupa realnih brojeva [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], koji je isto tako pravi podskup skupa kompleksnih brojeva [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], tj. [inlmath]\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}[/inlmath].

Za skupove koji nemaju zajedničkih elemenata kažemo da su disjunktni.

Operacije sa skupovima
Kao što u aritmetici poznajemo operacije sabiranja, oduzimanja, množenja itd., a u logici poznajemo logičke operacije (veznike) implikacije, konjunkcije, disjunkcije itd, tako i pri radu sa skupovima možemo da definišemo neke operacije.

1. Unija skupova
Unija dva skupa se obeležava sa [inlmath]\cup[/inlmath] i označava skup čiji su elementi svi elementi oba skupa.
[dispmath]A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}[/dispmath]
Venovim dijagramom predstavljeno:

unija.png
Unija skupova
unija.png (701 Bajta) Pogledano 21659 puta

(Sve što je obojeno zelenom bojom predstavlja uniju skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], dok sami krugovi predstavljaju skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath])

Za uniju skupova važi osobina komutativnosti, tj. [inlmath]A\cup B=B\cup A[/inlmath] i asocijativnosti [inlmath]A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C[/inlmath]. Napomenimo da je i [inlmath]A\cup A=A[/inlmath] (idempotentnost) i [inlmath]A\cup\emptyset=A[/inlmath].
Ako su skupovi disjunktni, tada važi [inlmath]\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)[/inlmath].

Uniju skupova možemo proširiti i na veći broj skupova [inlmath]\bigcup\limits_{i=1}^nA_i=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n[/inlmath]

2. Presek skupova
Presek dva skupa, u oznaci [inlmath]\cap[/inlmath], definišemo kao skup koji sadrži samo elemente koji se sadrže u oba skupa.
[dispmath]A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}[/dispmath]
presek.png
Presek skupova
presek.png (684 Bajta) Pogledano 21659 puta

Za presek dva skupa takođe važi osobina asocijativnosti i komutativnosti. Takođe, [inlmath]A\cap A=A[/inlmath] (idempotentnost) i [inlmath]A\cap\emptyset=\emptyset[/inlmath].
U slučaju kada su skupovi disjunktni (tj. nemaju zajedničkih članova) presek dva skupa je prazan skup [inlmath]\emptyset[/inlmath].

Presek dva skupa se može proširiti i na veći broj skupova [inlmath]\bigcap\limits_{i=1}^nA_i=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n[/inlmath]

Važe zakoni distribucije,

[inlmath]A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\\
A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)[/inlmath]

i apsorptivnosti:

[inlmath]A\cap(A\cup B)=A\\
A\cup(A\cap B)=A[/inlmath]

3. Razlika skupova
Razliku dva skupa u oznaci [inlmath]\backslash[/inlmath] definišemo kao skup koji sadrži sve elemente prvog skupa ali ne sadrži nijedan element drugog skupa.
[dispmath]A\backslash B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}[/dispmath]
razlika.png
Razlika skupova
razlika.png (701 Bajta) Pogledano 21659 puta

Primetimo da razlika skupova nije komutativna, tj. [inlmath]A\backslash B\ne B\backslash A[/inlmath]
Važe sledeći identiteti:
[inlmath]C\backslash(A\cap B)=(C\backslash A)\cup(C\backslash B)\\
C\backslash(A\cup B)=(C\backslash A)\cap(C\backslash B)\\
C\backslash(B\backslash A)=(A\cap C)\cup(C\backslash B)\\
(B\backslash A)\cap C=(B\cap C)\backslash A=B\cap(C\backslash A)\\
(B\backslash A)\cup C=(B\cup C)\backslash(A\backslash C)\\
A\backslash A=\emptyset\\
\emptyset\backslash A=\emptyset\\
A\backslash\emptyset=A[/inlmath]
Razlika skupova se ponekad navodi kao relativni komplement skupa.

4. Simetrična razlika
Skup [inlmath](A\backslash B)\cup(B\backslash A)[/inlmath] nazivamo simetrična razlika i obeležavamo sa [inlmath]A\triangle B[/inlmath].

simetricna razlika.png
Simetrična razlika skupova
simetricna razlika.png (679 Bajta) Pogledano 21659 puta

Simetrična razlika se može definisati i kao: [inlmath]A\triangle B=(A\cup B)\backslash(A\cap B)[/inlmath]

Uređeni par i uređene [inlmath]n[/inlmath]-torke
Do sada smo u ovom tutorijalu razmatrali osobine skupova. Kao što je gore napomenuto, redosled elemenata u skupu nije bitan, kao ni broj ponavljanja istog elementa. Zbog toga su matematičari za svoje potrebe početkom XX veka definisali novu matematičku strukturu – uređene [inlmath]n[/inlmath]-torke, u kojoj je redosled elemenata bitan. Uređene [inlmath]n[/inlmath]-torke predstavljamo uz pomoć zagrada između kojih se nalazi lista elemenata [inlmath](a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)[/inlmath].
Uređeni parovi (kao najprostiji predstavnici uređenih [inlmath]n[/inlmath]-torki) slični su dvočlanim skupovima, ali za razliku od njih, u uređenim parovima je bitan poredak, pa u generalnom slučaju važi nejednakost [inlmath](a,b)\ne(b,a)[/inlmath] (dok za dvočlane skupove to nije slučaj: [inlmath]\{a,b\}=\{b,a\}[/inlmath]). Jednakost uređenih parova [inlmath](a,b)=(c,d)[/inlmath] važi ako i samo ako važi [inlmath]a=c[/inlmath] i [inlmath]b=d[/inlmath].
Slično tome, možemo definisati i strukture sa većim brojem članova u kojima je bitan poredak, pa tako dolazimo do uređenih trojki [inlmath](a_1,a_2,a_3)[/inlmath], četvorki [inlmath](a_1,a_2,a_3,a_4)[/inlmath]... i u opštem slučaju uređenih [inlmath]n[/inlmath]-torki [inlmath](a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)[/inlmath]. Za prvi član uređenog para kažemo da je prva komponenta ili koordinata, a za drugi član da je druga komponenta ili koordinata itd...
Uređene parove i [inlmath]n[/inlmath]-torke smo definisali ovde zato što su potrebni za razumevanje sledeće operacije.

5. Dekartov proizvod
Dolazimo sada do najkomplikovanije operacije, a to je Dekartov proizvod (ili Kartezijev produkt), koji se obeležava sa [inlmath]\times[/inlmath].
Dekartov proizvod skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], u oznaci [inlmath]A\times B[/inlmath], predstavlja skup uređenih parova čija je prva komponenta element skupa [inlmath]A[/inlmath], a druga komponenta element skupa [inlmath]B[/inlmath].
[dispmath]A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}[/dispmath]Prvi primer: Ako su dati skupovi [inlmath]A=\{a,b,c\}[/inlmath] i [inlmath]B=\{1,2\}[/inlmath], tada je Dekartov proizvod ta dva skupa: [inlmath]A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}[/inlmath].
Drugi primer: Ako je dat skup znakova u špilu [inlmath]A=\{\spadesuit,{\color{red}\heartsuit},{\color{red}\diamondsuit},\clubsuit\}[/inlmath] i skup rangova u špilu [inlmath]B=\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\}[/inlmath], tada njihov proizvod [inlmath]A\times B[/inlmath] možemo da posmatramo kao špil karata [inlmath]\{(A,\spadesuit),(A,{\color{red}\heartsuit}),(A,{\color{red}\diamondsuit}),(A,\clubsuit),(K,\spadesuit),\ldots,(3,\clubsuit),(2,\spadesuit),(2,{\color{red}\heartsuit}),(2,{\color{red}\diamondsuit}),(2,\clubsuit)\}[/inlmath].
Dekartov proizvod se najbolje vidi ako se predstavi na grafički način putem mreže:

dekartov proizvod.png
Dekartov proizvod
dekartov proizvod.png (4.71 KiB) Pogledano 21659 puta

Dekartov proizvod nema osobinu komutativnosti, [inlmath]A\times B\ne B\times A[/inlmath], takođe nema osobinu asocijativnosti, [inlmath]A\times(B\times C)\ne(A\times B)\times C[/inlmath]
Kardinalnost Dekartovog proizvoda dva skupa jednaka je aritmetičkom proizvodu kardinalnih brojeva ta dva skupa: [inlmath]|A\times B|=|A|\cdot|B|[/inlmath]
Definiše se još i Dekartov stepen skupa:
[dispmath]A^n=\underbrace{A\times A\times A\times\cdots\times A}_n=\{(a_1,a_2,\ldots a_n)\mid a_i\in A\text{ za svako }1\le i\le n\}[/dispmath]
Dekartov proizvod bilo kog skupa i praznog skupa je prazan skup. Dekartov proizvod beskonačnog skupa i nepraznog skupa je beskonačan skup.
Dekartov proizvod je dobio ime po Reneu Dekartu (René Descartes; 1596—1650), francuskom matematičaru, koji je izveo revoluciju u matematici kreirajući pravougli koordinatni sistem [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath], mnogo pre nastanka teorije skupova.

6. Komplement skupa
Komplement skupa [inlmath]A[/inlmath], u oznaci [inlmath]A^\mathsf{c}[/inlmath], jeste skup čiji elementi su svi oni koji ne pripadaju skupu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A^\mathsf{c}=\{x\mid x\not\in A\}[/dispmath]Za komplement skupa potrebno je definisati koji skup je nadskup skupa [inlmath]A[/inlmath]. Često se taj nadskup obeležava sa [inlmath]U[/inlmath] (eng. universe), to jest nadskup svih skupova koji se spominju u kontekstu. Tada se kaže da je apsolutni komplement skupa [inlmath]A[/inlmath] skup [inlmath]U\backslash A[/inlmath].

komplement.png
Komplement skupa
komplement.png (669 Bajta) Pogledano 21659 puta

Komplement skupa se u literaturi često obeležava i kao: [inlmath]A'[/inlmath], [inlmath]\overline{A}[/inlmath], [inlmath]\mathsf{C}(A)[/inlmath], [inlmath]\mathsf{C}_U(A)[/inlmath]...
Navešćemo i neke osobine komplementa skupa:
[inlmath]A\cup A^\mathsf{c}=U\\
A\cap A^\mathsf{c}=\emptyset\\
\emptyset^\mathsf{c}=U\\
U^\mathsf{c}=\emptyset\\
\left(A^\mathsf{c}\right)^\mathsf{c}=A\\
(A\cup B)^\mathsf{c}=A^\mathsf{c}\cap B^\mathsf{c}\\
(A\cap B)^\mathsf{c}=A^\mathsf{c}\cup B^\mathsf{c}[/inlmath]

7. Partitivni skup
Za skup disjunktnih podskupova skupa [inlmath]A[/inlmath] čija je unija sam skup [inlmath]A[/inlmath], kažemo da je particija skupa [inlmath]A[/inlmath].
Za skup čiji su elementi svi podskupovi skupa [inlmath]A[/inlmath] kažemo da je partitivni skup skupa [inlmath]A[/inlmath] i to označavamo sa [inlmath]P(A)[/inlmath] ili [inlmath]A_P[/inlmath].
[dispmath]P(A)=\{B\mid B\subseteq A\}[/dispmath]Za partitivni skup važi: [inlmath]\text{card}\bigl(P(A)\bigr)=2^{\text{card}(A)}[/inlmath].
Napomenimo još i to da su prazan skup [inlmath]\emptyset[/inlmath] i sam skup [inlmath]A[/inlmath] elementi skupa [inlmath]P(A)[/inlmath].
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 22 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs