Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednačina sečice elipse

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Četvrtak, 02. Jun 2016, 12:34

Veliki pozdrav i tebi, ali bih te zamolio da:

Gore sam napisao kako glasi tražena jednačina sečice elipse u eksplicitnom obliku:
Daniel je napisao:[dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/dispmath]

što bi, nakon prebacivanja u implicitni oblik, bilo
[dispmath]9x+16y-25=0[/dispmath]
i to bi, nakon (nepotrebnog) množenja sa [inlmath]\left(-4\right)[/inlmath], odgovaralo prvoj od tvoje dve jednačine, s tim da ne znam šta u tvojim jednačinama predstavlja ovaj indeks [inlmath]_1[/inlmath] kod [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
Druga jednačina ti ne valja. Sasvim je i logično da ne mogu obe jednačine biti tačne, budući da treba da dobijemo samo jednu sečicu elipse.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jednačina sečice elipse

Postod kad » Četvrtak, 02. Jun 2016, 17:00

Hvala na odgovoru, hteo sam da pitam da li to onda znaci da uopste nismo morali da uvrstavamo [inlmath]y_A[/inlmath] u prvu jednacinu pa da dobijamo kvadratnu jednacinu nego da je vec ta jednacina iz koje smo izvukli [inlmath]y_A[/inlmath] upravo jednacina pravca secice elipse. Jel sam u pravu?
[dispmath]36-36x_A+64-64y_A=0[/dispmath][dispmath]-36x_A-64y_A=-100[/dispmath][dispmath]36x_A+64y_A=100[/dispmath]
A kada [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]y_A[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] dobijemo:
[dispmath]36x+64y=100[/dispmath][dispmath]9x+16y=25[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/dispmath]
A meni se cini da sam u prethodnom postu napisao identicne jednacine samo sto je druga bila pomnozena sa [inlmath](-1)[/inlmath], ali sada vidim da je [inlmath]-[/inlmath] ispred drugog clana binoma u drugoj jednacini (treba da bude [inlmath]+[/inlmath]).
Jel ovo moze i ovako ili je sada slucajno dobijeno tacno resenje?
kad  OFFLINE
 
Postovi: 52
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Petak, 03. Jun 2016, 10:23

Aha, sad kontam šta je zapravo tvoje pitanje. Ti si u prošlom postu citirao ovaj moj post,
Daniel je napisao:Kad razviješ jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] dobićeš
[dispmath]36-36x_A+9x_A^2+64-64y_A+16y_A^2=144\\
36-36x_A+64-64y_A+\underbrace{9x_A^2+16y_A^2}_{\begin{matrix}144\mbox{, na osnovu}\\\mbox{ jednačine }\left(1\right)\end{matrix}}=144\\
36-36x_A+64-64y_A=0\\
y_A=\frac{25-9x_A}{16}[/dispmath]
i onda to uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu,
[dispmath]9x_A^2+16\left(\frac{25-9x_A}{16}\right)^2=144\\
\vdots[/dispmath]

koji zaista jeste bitan za ovo što pitaš i izvinjavam ti se što sam taj citat uklonio.

Da, sad proverih, zaista nije bilo potrebe za uvrštavanjem u prvu jednačinu. Proverio sam i s opštim vrednostima – i u opštem slučaju se dobije da je to jednačina traženog pravca.
Hvala na zapažanju. :thumbup:

kad je napisao:A meni se cini da sam u prethodnom postu napisao identicne jednacine samo sto je druga bila pomnozena sa [inlmath](-1)[/inlmath], ali sada vidim da je [inlmath]-[/inlmath] ispred drugog clana binoma u drugoj jednacini (treba da bude [inlmath]+[/inlmath]).

Napisao si tačno ovako kako sada stoji, ja sam samo dodao Latex, ali nisam ništa dirao pluseve i minuse. OK, dešavaju se greške u kucanju. Znači, hteo si da napišeš da si iz [inlmath]-36x_1-64y_1=-100[/inlmath] dobio [inlmath]36x_1+64y_1=100[/inlmath] (gde ovaj indeks [inlmath]_1[/inlmath] zapravo znači da se koordinate odnose na tačku [inlmath]A[/inlmath]) i to je OK.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

  • +1

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Tinker » Četvrtak, 01. Mart 2018, 02:28

Ja bih hteo da priložim jedno alternativno rešenje za ovaj zadatak, koje je (meni) bilo dosta lakše jer nisam bio oduševljen idejom da računam ovolike korene. :D
Dakle:
Daniel je napisao:Pošto tačka [inlmath]A[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_A^2+16y_A^2=144\quad\left(1\right)[/dispmath]
Pošto i tačka [inlmath]B[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_B^2+16y_B^2=144[/dispmath][dispmath]9\left(2-x_A\right)^2+16\left(2-y_A\right)^2=144\quad\left(2\right)[/dispmath]

Do ovog dela se apsolutno slažem sa Danielom, samo što bih odatle ja to ovako:
[dispmath]9x_A^2+16y_A^2=144\quad\left(1\right)\\
9x_B^2+16y_B^2=144\quad\left(2\right)[/dispmath] Odavde, oduzme se druga jednačina od prve:
[dispmath]9\left(x_A^2-x_B^2\right)+16\left(y_A^2-y_B^2\right)=0[/dispmath] Pošto je [inlmath]x_A^2-x_B^2=(x_A-x_B)(x_A+x_B)[/inlmath] i [inlmath]y_A^2-y_B^2=(y_A-y_B)(y_A+y_B)[/inlmath]

Iz ovog prethodnog što sam naglasio, sledi:
[dispmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0\\
9x_A+16y_A=9x_A+16y_A[/dispmath] Pošto su strane jednake jedna sa drugom, znači da će [inlmath]9x_A+16y_A=c,\;c\in\mathbb{R}[/inlmath]

I jednostavnom zamenom tačke [inlmath]P(1,1)[/inlmath] u prethodno dobijamo [inlmath]c=25[/inlmath] odakle će uslediti i konačno rešenje
[dispmath]9x_A+16y_A=25\;\Longrightarrow\;\frac{x_A}{16}+\frac{y_A}{9}=\frac{25}{144}[/dispmath] Apelovao bih na svakoga ko ima volje da ako ovaj zadatak ne može ovako da se reši mi objasni i zašto, svakako mislim da je ovo dobro rešenje, pa rek'o čisto da imamo još jedno pored onog Danielovog. Pozdrav! :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

  • +1

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Petak, 02. Mart 2018, 16:42

Da, odlično si se setio toga da razložiš razliku kvadrata i da iskoristiš [inlmath]x_A+x_B=2[/inlmath] i [inlmath]y_A+y_B=2[/inlmath]. :thumbup: Mada, nije mi najjasnije ovo što si nakon toga radio, kako si iz [inlmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0[/inlmath] dobio [inlmath]9x_A+16y_A=9x_A+16y_A[/inlmath]... Možda si greškom stavio indekse [inlmath]A[/inlmath] umesto indeksa [inlmath]B[/inlmath], al' opet ne razumem ni ovo [inlmath]9x_A+16y_A=c[/inlmath]...

Ja bih to nastavio na ovaj način: pošto smo nakon razlaganja razlike kvadrata dobili [inlmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0[/inlmath], odatle je [inlmath]\displaystyle\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=-\frac{9}{16}[/inlmath] a to je upravo koeficijent pravca prave koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. koeficijent pravca tražene sečice. Prema tome, jednačina sečice je oblika [inlmath]\displaystyle y=-\frac{9}{16}x+n[/inlmath], a [inlmath]n[/inlmath] odredimo uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]P(1,1)[/inlmath] koja takođe pripada toj sečici, odakle se dobije [inlmath]\displaystyle n=\frac{25}{16}[/inlmath], što znači da je jednačina sečice [inlmath]\displaystyle y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/inlmath].

Da ne bude zabune – ne kažem ja da i tvoj postupak nije u redu, samo kažem da ga nisam razumeo pa da samim tim ne mogu ni da kažem da li je u redu ili ne. Ali, za razliku kvadrata si se zaista odlično dosetio. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

  • +1

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Tinker » Petak, 02. Mart 2018, 19:27

Daniel je napisao:kako si iz [inlmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0[/inlmath] dobio [inlmath]9x_A+16y_A=9x_A+16y_A[/inlmath]... Možda si greškom stavio indekse [inlmath]A[/inlmath] umesto indeksa [inlmath]B[/inlmath]

Da, tu sam pogrešio, treba da piše [inlmath]9x_A+16y_A=9x_B+16y_B[/inlmath], lapsus mali izvinjavam se na propustu. :)

Pa moja neka logika da pošto su strane bile jednake, da će tačke [inlmath](x_A,y_A)[/inlmath] i [inlmath](x_B,y_B)[/inlmath] pripadati pravoj [inlmath]9x+16y[/inlmath] i pošto i sama tačka [inlmath]P(1,1)[/inlmath] pripada toj pravoj, zameni se u [inlmath]9x+16y=c[/inlmath] i dobije [inlmath]c=25[/inlmath]. Da li je to u redu ili to nije sasvim tačno, nego se slučajno pogodilo? A za komentar taman posla, zato sam i rekao da ako nije ispravno da mi neko ukaže na to da ne bih grešio u budućnosti. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

  • +1

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Subota, 03. Mart 2018, 18:49

Aha, na to si mislio... Da, sasvim OK razmišljanje. Važi i u opštem slučaju, jer ako imamo dve prave zadate implicitnim oblikom, [inlmath]Ax+By+C_1=0[/inlmath] i [inlmath]Ax+By+C_2=0[/inlmath], one će zbog jednakog odnosa koeficijenata [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] biti paralelne, a poklapaće se ako je [inlmath]C_1=C_2\;(=C)[/inlmath]. Pošto su [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]x_B[/inlmath] konstante, [inlmath]9x_A+16y_A[/inlmath] je svakako konstanta, isto tako i [inlmath]9x_B+16y_B[/inlmath]. Zbog znaka jednakosti, to je zapravo jedna ista konstanta, tj. u pitanju je jedna prava koja sadrži dve tačke s tim koordinatama.

Eto, možda nisam ni ja ovo svojim rečima opisao baš najspretnije, :) al' može se raditi na taj način, iako nije baš školski. Štaviše, uvek mi je drago kad vidim i postupke koji nisu onakvi kakvi se traže po školama/fakultetima, po nekom šablonu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Prethodna

Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Decembar 2018, 07:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs