maarko999 je napisao:jednacina cilindra treba da bude oblika
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] u ovom slucaju je [inlmath]a=b[/inlmath]
Zbog toga što je u pitanju kružni cilindar (odakle je, kao što si i napisao, [inlmath]a=b[/inlmath]), mogli smo odmah pisati jednačinu [inlmath]x^2+y^2=r^2[/inlmath].
maarko999 je napisao:dobio sam da je [inlmath]\frac{19}{10}[/inlmath] poluprecnik.
Dobije se to, ali pod korenom – dakle, [inlmath]r=\sqrt{\frac{19}{10}}[/inlmath].
maarko999 je napisao:kako da napisem jednacinu tako da mi prava [inlmath]p[/inlmath] bude osa cilindra?
Potrebno je da uvedeš nov koordinatni sistem, nazovimo ga [inlmath]x'y'z'[/inlmath], takav da osu [inlmath]z'[/inlmath] vežemo za pravu [inlmath]p[/inlmath], a koordinatni početak je najzgodnije vezati za tačku prave [inlmath]p[/inlmath] koja se nalazi u [inlmath]xy[/inlmath]-ravni (u ovom slučaju to je tačka [inlmath](3,1,0)[/inlmath], čije se koordinate mogu i direktno očitati iz date jednačine prave). Takođe, [inlmath]y'[/inlmath]-osu je najzgodnije ostaviti da bude paralelna [inlmath]y[/inlmath]-osi (čime će i [inlmath]x'z'[/inlmath]-ravan biti paralelna [inlmath]xz[/inlmath]-ravni):
- kruzni cilindar.png (1.85 KiB) Pogledano 1130 puta
U tako uvedenom koordinatnom sistemu, osa cilindra će se poklapati sa [inlmath]z'[/inlmath]-osom, tako da će važiti
[dispmath]x'^2+y'^2=r^2[/dispmath] Potrebno je [inlmath]x'[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath] izraziti preko [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] (tj. preko koordinata „originalnog“ koordinatnog sistema).
Možemo uočiti da je koordinatni početak novog koordinatnog sistema [inlmath]x'y'z'[/inlmath] transliran u odnosu na koordinatni početak [inlmath]xyz[/inlmath]-sistema za [inlmath]3[/inlmath] po [inlmath]x[/inlmath]-osi, i za [inlmath]1[/inlmath] po [inlmath]y[/inlmath]-osi. Takođe, [inlmath]x'y'z'[/inlmath]-sistem je u odnosu na [inlmath]xyz[/inlmath]-sistem zarotiran u [inlmath]xz[/inlmath]-ravni za neki ugao [inlmath]\varphi[/inlmath], pri čemu tangens tog ugla možemo odrediti na osnovu parametara prave [inlmath]p[/inlmath], a odatle odredimo i njegov sinus i kosinus.
Kad smo sve to uradili, možemo koordinatne ose novog sistema predstaviti preko koordinatnih osa originalnog:
- [inlmath]x'=(x-3)\cos\varphi+z\sin\varphi[/inlmath] (od [inlmath]x[/inlmath] oduzimamo [inlmath]3[/inlmath] zbog translacije za [inlmath]3[/inlmath] u smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose, a zatim, zbog rotacije, [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu množimo kosinusom, a [inlmath]z[/inlmath]-koordinatu sinusom ugla [inlmath]\varphi[/inlmath]);
- [inlmath]y'=y-1[/inlmath] (zbog toga što je koordinatni sistem [inlmath]x'y'z'[/inlmath] rotiran oko [inlmath]y[/inlmath]-ose (iliti oko [inlmath]y'[/inlmath]-ose), u izrazu za [inlmath]y'[/inlmath] ne figuriše ugao [inlmath]\varphi[/inlmath], jer je [inlmath]y'[/inlmath] paralelna sa [inlmath]y[/inlmath], već samo od [inlmath]y[/inlmath] oduzimamo [inlmath]1[/inlmath], zbog translacije za [inlmath]1[/inlmath] po [inlmath]y[/inlmath]-osi).
Sada je još preostalo ovako napisane izraze za [inlmath]x'[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath] uvrstiti u [inlmath]x'^2+y'^2=r^2[/inlmath], zatim uvrstiti brojne vrednosti i na kraju to malo srediti. Kao konačan rezultat treba da se za jednačinu traženog kružnog cilindra dobije
[dispmath]9x^2+10y^2+z^2+6xz-54x-20y-18z+72=0[/dispmath]