Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednacina kruznog cilindra

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Jednacina kruznog cilindra

Postod maarko999 » Sreda, 01. Maj 2019, 00:17

Naci jednacinu kruznog cilindra cija je osa prava [inlmath]p[/inlmath] i koji sadrzi tacku [inlmath]A[/inlmath].
[dispmath]p\colon\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z}{3}[/dispmath][dispmath]A(4,2,0)[/dispmath] jednacina cilindra treba da bude oblika
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] u ovom slucaju je [inlmath]a=b[/inlmath] dobio sam da je [inlmath]\frac{19}{10}[/inlmath] poluprecnik. To ako ubacim u jednacinu dobijem cilindar cije gde [inlmath]z[/inlmath] osa cilindra, kako da napisem jednacinu tako da mi prava [inlmath]p[/inlmath] bude osa cilindra?
Poslednji put menjao miletrans dana Sreda, 01. Maj 2019, 09:45, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija LaTex-a
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jednacina kruznog cilindra

Postod Daniel » Četvrtak, 02. Maj 2019, 14:50

maarko999 je napisao:jednacina cilindra treba da bude oblika
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] u ovom slucaju je [inlmath]a=b[/inlmath]

Zbog toga što je u pitanju kružni cilindar (odakle je, kao što si i napisao, [inlmath]a=b[/inlmath]), mogli smo odmah pisati jednačinu [inlmath]x^2+y^2=r^2[/inlmath].

maarko999 je napisao:dobio sam da je [inlmath]\frac{19}{10}[/inlmath] poluprecnik.

Dobije se to, ali pod korenom – dakle, [inlmath]r=\sqrt{\frac{19}{10}}[/inlmath].

maarko999 je napisao:kako da napisem jednacinu tako da mi prava [inlmath]p[/inlmath] bude osa cilindra?

Potrebno je da uvedeš nov koordinatni sistem, nazovimo ga [inlmath]x'y'z'[/inlmath], takav da osu [inlmath]z'[/inlmath] vežemo za pravu [inlmath]p[/inlmath], a koordinatni početak je najzgodnije vezati za tačku prave [inlmath]p[/inlmath] koja se nalazi u [inlmath]xy[/inlmath]-ravni (u ovom slučaju to je tačka [inlmath](3,1,0)[/inlmath], čije se koordinate mogu i direktno očitati iz date jednačine prave). Takođe, [inlmath]y'[/inlmath]-osu je najzgodnije ostaviti da bude paralelna [inlmath]y[/inlmath]-osi (čime će i [inlmath]x'z'[/inlmath]-ravan biti paralelna [inlmath]xz[/inlmath]-ravni):

kruzni cilindar.png
kruzni cilindar.png (1.85 KiB) Pogledano 23 puta

U tako uvedenom koordinatnom sistemu, osa cilindra će se poklapati sa [inlmath]z'[/inlmath]-osom, tako da će važiti
[dispmath]x'^2+y'^2=r^2[/dispmath] Potrebno je [inlmath]x'[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath] izraziti preko [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] (tj. preko koordinata „originalnog“ koordinatnog sistema).
Možemo uočiti da je koordinatni početak novog koordinatnog sistema [inlmath]x'y'z'[/inlmath] transliran u odnosu na koordinatni početak [inlmath]xyz[/inlmath]-sistema za [inlmath]3[/inlmath] po [inlmath]x[/inlmath]-osi, i za [inlmath]1[/inlmath] po [inlmath]y[/inlmath]-osi. Takođe, [inlmath]x'y'z'[/inlmath]-sistem je u odnosu na [inlmath]xyz[/inlmath]-sistem zarotiran u [inlmath]xz[/inlmath]-ravni za neki ugao [inlmath]\varphi[/inlmath], pri čemu tangens tog ugla možemo odrediti na osnovu parametara prave [inlmath]p[/inlmath], a odatle odredimo i njegov sinus i kosinus.
Kad smo sve to uradili, možemo koordinatne ose novog sistema predstaviti preko koordinatnih osa originalnog:
  • [inlmath]x'=(x-3)\cos\varphi+z\sin\varphi[/inlmath] (od [inlmath]x[/inlmath] oduzimamo [inlmath]3[/inlmath] zbog translacije za [inlmath]3[/inlmath] u smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose, a zatim, zbog rotacije, [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu množimo kosinusom, a [inlmath]z[/inlmath]-koordinatu sinusom ugla [inlmath]\varphi[/inlmath]);
  • [inlmath]y'=y-1[/inlmath] (zbog toga što je koordinatni sistem [inlmath]x'y'z'[/inlmath] rotiran oko [inlmath]y[/inlmath]-ose (iliti oko [inlmath]y'[/inlmath]-ose), u izrazu za [inlmath]y'[/inlmath] ne figuriše ugao [inlmath]\varphi[/inlmath], jer je [inlmath]y'[/inlmath] paralelna sa [inlmath]y[/inlmath], već samo od [inlmath]y[/inlmath] oduzimamo [inlmath]1[/inlmath], zbog translacije za [inlmath]1[/inlmath] po [inlmath]y[/inlmath]-osi).
Sada je još preostalo ovako napisane izraze za [inlmath]x'[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath] uvrstiti u [inlmath]x'^2+y'^2=r^2[/inlmath], zatim uvrstiti brojne vrednosti i na kraju to malo srediti. Kao konačan rezultat treba da se za jednačinu traženog kružnog cilindra dobije
[dispmath]9x^2+10y^2+z^2+6xz-54x-20y-18z+72=0[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7508
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3908 puta
Pohvaljen: 4031 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Baidu [Spider] i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 24. Maj 2019, 03:13 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs