Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Koordinate tacke na pravoj

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Koordinate tacke na pravoj

Postod Frank » Ponedeljak, 10. Februar 2020, 21:55

Date su tacke [inlmath]P(0,8)[/inlmath] i [inlmath]Q(7,9)[/inlmath] i prava [inlmath]l\colon x-3y+2=0[/inlmath]. Na pravoj [inlmath]l[/inlmath] odrediti tacku [inlmath]M[/inlmath] tako da je [inlmath]\angle PMQ=45^\circ[/inlmath].
Tacku [inlmath]M[/inlmath] sam pokusao da nadjem na preseku prava [inlmath]s[/inlmath] (prava koja sadrzi tacku [inlmath]P[/inlmath]), [inlmath]p[/inlmath] (prava koja sadrzi tacku [inlmath]Q[/inlmath]) i prave [inlmath]l[/inlmath]. Ovo me nije odvelo do resenja jer dobijem sistem u kojem imam duplo vise nepoznatih nego jednacina. :facepalm: Podatak iz postavke zadatka, [inlmath]\angle PMQ=45^\circ[/inlmath], nisam znao kako da ga "ubacim" u sistem kako bih barem malo "razbio". Svaka ideja bi dobro dosla. Hvala! :D
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 53
Zahvalio se: 34 puta
Pohvaljen: 11 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Koordinate tacke na pravoj

Postod Daniel » Utorak, 11. Februar 2020, 02:31

Dobro si krenuo. Ako sve uvrstiš kako treba, dobiju se dve kvadratne jednačine (od kojih jedna nema rešenja pa nju odbacujemo, dok druga ima dva rešenja – što je i logično, jer postoje dve tačke na pravoj [inlmath]l[/inlmath] iz kojih se duž [inlmath]PQ[/inlmath] vidi pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath]).
Pokušaj, pa ako ne budeš uspeo, napiši taj deo u kom si se „spetljao“, pa ćemo pomoći. :)

Frank je napisao:Podatak iz postavke zadatka, [inlmath]\angle PMQ=45^\circ[/inlmath], nisam znao kako da ga "ubacim" u sistem kako bih barem malo "razbio".

Budući da prave [inlmath]PM[/inlmath] i [inlmath]QM[/inlmath] treba međusobno da zaklapaju ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath],
[dispmath]\text{tg }45^\circ=\left|\frac{k_{PM}-k_{QM}}{1+k_{PM}k_{QM}}\right|[/dispmath]


Predložio bih jedno možda komplikovanije, ali zanimljivije :) rešenje. Čim se traži da se neka duž iz neke tačke vidi pod određenim uglom, to nekako „zove“ da iskoristimo osobinu perifernog ugla kružnice. Konstruišimo duž [inlmath]PS[/inlmath], takvu da je [inlmath]PS\perp PQ[/inlmath] i [inlmath]PS=PQ[/inlmath], pri čemu se [inlmath]S[/inlmath] nalazi s iste strane prave [inlmath]PQ[/inlmath] kao i prava [inlmath]l[/inlmath] (ovo poslednje je isto bitan uslov, kasnije će se videti zbog čega). Imaćemo situaciju kao na slici:

periferni ugao.png
periferni ugao.png (3.6 KiB) Pogledano 35 puta

(naravno, potrebno je pre svega ovoga proveriti i jesu li tačke [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] s iste strane prave [inlmath]l[/inlmath] – pokazuje se da jesu.)

Iz tačke [inlmath]S[/inlmath] duž [inlmath]PQ[/inlmath] će se videti pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath] (jer su [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] temena kvadrata, pri čemu su [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] susedna temena).
To znači, ako konstruišemo kružnicu [inlmath]k[/inlmath] takvu da sadrži tačke [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath], tada će se iz svih tačaka kružnice [inlmath]k[/inlmath] koje su s iste strane tetive [inlmath]PQ[/inlmath] kao i tačka [inlmath]S[/inlmath], duž [inlmath]PQ[/inlmath] videti pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath].
To, opet, znači da će presek kružnice [inlmath]k[/inlmath] i prave [inlmath]l[/inlmath] dati upravo tražena rešenja – [inlmath]M_1[/inlmath] i [inlmath]M_2[/inlmath] – jer one pripadaju pravoj [inlmath]l[/inlmath], a i duž [inlmath]PQ[/inlmath] se iz svake od njih vidi pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath].

(Prilikom konstrukcije kružnice [inlmath]k[/inlmath] može se iskoristiti činjenica da se centar te kružnice nalazi na sredini duži [inlmath]QS[/inlmath].)

Opet napominjem, jednostavniji je onaj način na koji si krenuo, preporučujem da njega i dovršiš. Ovaj način s perifernim uglom dobar je radi vežbe i vizuelizacije problema. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7886
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4114 puta
Pohvaljen: 4190 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 29. Februar 2020, 02:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs