Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Presek krugova pod pravim uglom

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Presek krugova pod pravim uglom

Postod Frank » Utorak, 25. Februar 2020, 23:47

Naci jednacinu kruga koji date krugove [inlmath]k_1[/inlmath], [inlmath]k_2[/inlmath], [inlmath]k_3[/inlmath] sece pod pravim uglom:
[inlmath]k_1\colon(x-1)^2+(y-2)^2=7[/inlmath]; [inlmath]k_2\colon(x-3)^2+y^2=5[/inlmath]; [inlmath]k_3\colon(x+4)^2+(y+1)^2=9[/inlmath].
Meni je najveci problem kako da pocnem zadatak jer nemam nikakvu predstavu kako otprilike izgleda skica sa pravim uglom izmedju kruznica. Prvi put se susrecem sa zadacima ovog tipa pa mi stvarno ne pada nikakva ideja kako se ovo radi.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Presek krugova pod pravim uglom

Postod Daniel » Sreda, 26. Februar 2020, 15:59

Kad se kaže da se dva kruga seku pod pravim uglom, to znači da se njihove tangente u tački preseka seku pod pravim uglom:

presek krugova pod pravim uglom.png
presek krugova pod pravim uglom.png (1.59 KiB) Pogledano 2120 puta

Na slici sam obeležio prav ugao na samo jednoj tački preseka, ali će isto to važiti i za drugu tačku preseka (kad se dva kruga seku, onda se u obe presečne tačke seku pod istim uglom – to se lako dokazuje preko SSS stava podudarnosti trouglova).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Presek krugova pod pravim uglom

Postod Frank » Sreda, 26. Februar 2020, 17:01

Samo da pitam da li ovo vazi iskljucivo za prav ugao?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Presek krugova pod pravim uglom

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Februar 2020, 09:11

Ne.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Presek krugova pod pravim uglom

Postod Frank » Ponedeljak, 02. Mart 2020, 18:02

Ako sam dobro zakljucio - ako se dva kruga seku pod pravim uglom znaci da tangenta "prvog" kruga sadrzi centar "drugog", analogno i za "drugi" krug?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Presek krugova pod pravim uglom

Postod Daniel » Utorak, 03. Mart 2020, 18:30

Upravo tako, jer su tangenta kružnice u nekoj tački i poluprečnik kružnice koji sadrži tu tačku – međusobno normalni.
Dakle, tangenta [inlmath]t_1[/inlmath] prve kružnice u tački preseka [inlmath]A[/inlmath] normalna je na tangentu [inlmath]t_2[/inlmath] druge kružnice u istoj toj tački preseka (po uslovu zadatka), a pošto je i poluprečnik [inlmath]O_2A[/inlmath] normalan na tangentu [inlmath]t_2[/inlmath] sledi da tangenta [inlmath]t_1[/inlmath] mora sadržati poluprečnik [inlmath]O_2A[/inlmath], pa samim tim i centar [inlmath]O_2[/inlmath].
Analogno se pokazuje i da tangenta [inlmath]t_2[/inlmath] sadrži centar [inlmath]O_1[/inlmath].

Upravo to se i koristi da bi se postavio uslov da se kružnice [inlmath](x-p_1)^2+(y-q_1)^2=r_1^2[/inlmath] i [inlmath](x-p_2)^2+(y-q_2)^2=r_2^2[/inlmath] seku pod pravim uglom:

kruznice pod pravim uglom.png
kruznice pod pravim uglom.png (1.97 KiB) Pogledano 2071 puta

Sa slike se, na osnovu Pitagorine teoreme primenjene na trougao [inlmath]\triangle O_1AO_2[/inlmath], uočava da rastojanje centara ove dve kružnice mora iznositi [inlmath]\sqrt{r_1^2+r_2^2}[/inlmath]. Drugim rečima, [inlmath]O_2[/inlmath] se mora nalaziti na kružnici čiji je centar [inlmath]O_1[/inlmath] a poluprečnik [inlmath]\sqrt{r_1^2+r_2^2}[/inlmath], tj. nalazi se na kružnici čija je jednačina [inlmath](x-p_1)^2+(y-q_1)^2=r_1^2+r_2^2[/inlmath] (to je kružnica koncentrična kružnici [inlmath]k_1[/inlmath]). Na ovaj način, korsiteći podatak da se tražena kružnica seče pod pravim uglom sa svakom od tri zadate kružnice, dobija se sistem od tri jednačine s tri nepoznate, koji si i napisao u ovoj temi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 52 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:06 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs