Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

Postod dovahkiin001 » Subota, 22. Jun 2019, 19:28

Ne znam ni kako da pocnem ovaj zadatak...

Probni prijemni ispit ETF – 15. jun 2019.
18. zadatak


Od svih tačaka koje pripadaju krivoj [inlmath]2x^2+y^2-24(x-y)+208=0[/inlmath] tačka [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] ima najveću apsolutnu vrednost ordinate. Tada je [inlmath]2x_0+y_0[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;-12+\sqrt8;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;-2\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\sqrt8;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;24+\sqrt8;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-2.[/inlmath]



Tačan odgovor je pod [inlmath]B[/inlmath]. Hvala unapred na pomoći. Nadam se da nisam grešio u pisanju, nov sam na forumu. :)
Poslednji put menjao Jovan111 dana Subota, 22. Jun 2019, 21:30, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija teksta zadatka, dodavanje linka ka zadatku
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

Postod miletrans » Subota, 22. Jun 2019, 20:16

Pozdrav, dobro nam došao.

Da li znaš koja je ovo kriva? I da li znaš kako da je svedeš na kanonički oblik iz koga se "sve" vidi i na koji smo svi navikli?
Globalni moderator
 
Postovi: 401
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 467 puta

Re: Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

Postod dovahkiin001 » Subota, 22. Jun 2019, 20:33

Ova kriva me podseća na kružnicu, ali me buni dvojka kod [inlmath]2x^2[/inlmath].

Nadam se da ne grešim. :D
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

Postod Jovan111 » Subota, 22. Jun 2019, 21:42

Pozdrav. Dobrodošlica i od mene! Čim postoji ta dvojka onda znači da nije kružnica u pitanju. Naime, možeš sve napisati u obliku:
[dispmath]2x^2-24x+y^2+24y+208=0\iff2\left(x^2-2\cdot x\cdot6\right)+y^2+2\cdot y\cdot12+208=0[/dispmath] Zatim je ideja da napraviš kvadrat binoma i dođeš do jednačine elipse, čiji je kanonski oblik:
[dispmath]\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1[/dispmath] pošto će se ispostaviti da je elipsa u pitanju.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 160 puta

  • +1

Re: Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

Postod Zedxdxd » Sreda, 24. Jun 2020, 16:53

Evo da dodam i moje rešenje bez dovođenja u kanonski oblik (mislim da se u svim školama radi samo centralna elipsa osim u matematičkim gimnazijama, ispravite me ako grešim, pa kanonski oblik elipse koja nije centralna može da zbuni).
Dakle, prvo ćemo malo transformisati dati izraz sa ciljem da izrazimo [inlmath]y[/inlmath] i da uradimo izvod:
[dispmath]2x^2+y^2-24(x-y)+208=0\\
2x^2-24x+y^2+24y+208=0[/dispmath] Pravimo kvadrat binoma:
[dispmath]2x^2-24x+y^2+24y+144-144+208=0\\
2x^2-24x+(y+12)^2+64=0\\
(y+12)^2=-2x^2+24x-64\\
y+12=\pm\sqrt{-2x^2+24x-64}\\
y=\pm\sqrt{-2x^2+24x-64}-12[/dispmath] Sada radimo izvod:
[dispmath]y'=\pm\frac{-4x+24}{\sqrt{-2x^2+24x-64}}[/dispmath] I on je jednak [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]x=6[/inlmath] (odnosno to je u zadatku [inlmath]x_0[/inlmath]).
Nazovimo [inlmath]y_1=\sqrt{-2x^2+24x-64}[/inlmath] i [inlmath]y_2=-\sqrt{-2x^2+24x-64}[/inlmath].
Tada za [inlmath]x_0=6[/inlmath] imamo da je [inlmath]y_1=\sqrt8-12[/inlmath] i [inlmath]y_2=-\sqrt8-12[/inlmath].
Kada uporedimo njihove apsolutne vrednosti vidimo [inlmath]|y_2|>|y_1|[/inlmath], pa je [inlmath]y_0=y_2[/inlmath].
Konačno: [inlmath]2x_0+y_0=12+\left(-\sqrt8-12\right)=-\sqrt8=-2\sqrt2[/inlmath]

Nadam se da je sve jasno!! :D
Zedxdxd  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Najveća vrednost ordinate krive – probni prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Sreda, 24. Jun 2020, 23:54

Zedxdxd je napisao:[dispmath]y=\pm\sqrt{-2x^2+24x-64}-12[/dispmath] Sada radimo izvod:
[dispmath]y'=\pm\frac{-4x+24}{\sqrt{-2x^2+24x-64}}[/dispmath]

Ovde imaš grešku, treba još dvojka dole pod korenom. No, dobro, to ne utiče na tačnost daljeg postupka, koji je sasvim OK.



Može i na drugi način, tako što se posmatra prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, čija je jednačina [inlmath]y=a[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] rastojanje te prave od [inlmath]x[/inlmath]-ose (možemo je promenom parametra [inlmath]a[/inlmath] translirati gore-dole).
Ta prava može da ima dve zajedničke tačke s elipsom (i to su onda tačke preseka), može imati jednu zajedničku tačku s elipsom (do je onda tačka dodira), a može i da nema nijednu zajedničku tačku s elipsom.
Kada ima jednu zajedničku tačku s elipsom (tačku dodira), to će upravo biti tačka s najvećom ili najmanjom vrednošću ordinate od svih tačaka na elipsi. Jedna od te dve tačke biće ona koju u zadatku tražimo. Da bismo je našli, rešićemo sistem koji čine jednačina elipse i jednačina te prave:
[dispmath]2x^2-24x+y^2+24y+208=0\\
y=a[/dispmath] Odatle je
[dispmath]2x^2-24x+a^2+24a+208=0[/dispmath] Kako bismo imali jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath] (jer će to značiti da je u pitanju jedna zajednička tačka, tj. tačka dodira), potrebno je da diskriminanta ove kvadratne jednačine po [inlmath]x[/inlmath] bude jednaka nuli:
[dispmath]D=24^2-8\left(a^2+24a+208\right)=0\\
\vdots\\
a^2+24a+136=0[/dispmath] Dobijaju se rešenja [inlmath]a_1=-12-2\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]a_1=-12+2\sqrt2[/inlmath]. Pošto je [inlmath]|a_1|>|a_2|[/inlmath], [inlmath]a_1[/inlmath] je ordinata tražene tačke. Uvrstimo [inlmath]a=-12-2\sqrt2[/inlmath] u [inlmath]2x^2-24x+a^2+24a+208=0[/inlmath], dobićemo kvadratnu po [inlmath]x[/inlmath] koja glasi [inlmath]x^2-12x+36=0[/inlmath] tj. [inlmath](x-6)^2=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=6[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8308
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4422 puta
Pohvaljen: 4424 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 10. Jul 2020, 09:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs