Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Prava i ravan

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Prava i ravan

Postod Shady » Ponedeljak, 31. Avgust 2015, 11:16

Potrebno mi je da mi neko potvrdi da li je rješenje dobro.

Zadatak glasi:
Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu
[dispmath]a:\;\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{1}[/dispmath]
a od tačke [inlmath]T(1,2,1)[/inlmath] udaljena je za [inlmath]\sqrt3[/inlmath]

Rješenje:

Da bi našao traženu ravan potrebno je odrediti njen vektor normale i neku pripadajuću tačku,za tačku je lagano jer tačka [inlmath]M(1,-1,1)[/inlmath] pripada pravoj [inlmath]a[/inlmath] pa ujedno i pripada našoj ravni.
Eh,vektor sam našao na sljedeći način:
Pošto znamo da je tačka [inlmath]T[/inlmath] udaljena od ravni za [inlmath]\sqrt3[/inlmath] što predstavlja ujedno i najkraću udaljenost,posmatramo tu vrijednost kao INTENZITET vektora tačke [inlmath]T[/inlmath] i i neke tačke na površini ravni (uzeo sam tačku [inlmath]A[/inlmath]).
Kako vrijednost intenziteta iznosi [inlmath]\sqrt3[/inlmath] logički (nadam se da nisam pogrijesio) zaključujem da koordinate datog vektora iznose
[dispmath]\vec{AT}(1,1,1)=\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)}=\sqrt3[/dispmath]
iz toga vrijednost tačke [inlmath]A[/inlmath] iznosi [inlmath](0,1,0)[/inlmath]
Sada kad sam odredio tačku [inlmath]A[/inlmath] izračunam vektor pripadajuće tačke [inlmath]M[/inlmath] pravoj [inlmath]a[/inlmath] i tačke [inlmath]A[/inlmath] i dobijam [inlmath]\vec{MA}[/inlmath]
Zatim izračunam vektor normale tako što vektorski pomnožim [inlmath]\vec{MA}[/inlmath] i [inlmath]\vec{Pa}[/inlmath], ostalo je lagano.

Da li je ovo tačan način,i ako jeste kako bi našao vrijednost vektora [inlmath]\vec{TA}[/inlmath] da je u pitanju neka druga vrijednost udaljenosti koja nije ovako očigledna kao ova?
Shady  OFFLINE
 
Postovi: 34
Zahvalio se: 19 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Prava i ravan

Postod Daniel » Utorak, 01. Septembar 2015, 09:21

Pa, nije ti dobro, jer odmah možeš videti da vektor [inlmath]\vec{AT}[/inlmath] i vektor prave [inlmath]a[/inlmath] nisu međusobno normalni (skalarni proizvod im je različit od nule), a morali bi biti ako je [inlmath]\vec{AT}[/inlmath] normalan na traženu ravan koja sadrži pravu [inlmath]a[/inlmath]. Ti, zapravo, nigde nisi ni postavio uslov da je [inlmath]\vec{AT}[/inlmath] normalan na traženu ravan, a to je neophodan uslov kako bi intenzitet vektora [inlmath]\vec{AT}[/inlmath] predstavljao najkraće rastojanje od tražene ravni do tačke [inlmath]T[/inlmath].

Drugo, kako si iz [inlmath]\left|\vec{AT}\right|=\sqrt3[/inlmath] zaključio da je [inlmath]\vec{AT}=\left<1,1,1\right>[/inlmath]? Zašto ne bi, recimo, moglo biti [inlmath]\vec{AT}=\left<\sqrt2,0,1\right>[/inlmath], ili [inlmath]\vec{AT}=\left<0,0,\sqrt3\right>[/inlmath], ili...
Intenzitet vektora nam ništa ne govori o vrednostima njegovih komponenata.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Prava i ravan

Postod Shady » Utorak, 01. Septembar 2015, 11:47

Uredu onda jednostavno ne razumijem.

Postavim ja uslov okomitosti između vektora prave [inlmath]a[/inlmath] i vektora [inlmath]\vec{AT}[/inlmath] i kada ih izmnožim dobijem nešto slično jednačini ravni :
[dispmath]-2x-3y-z+9=0[/dispmath]
Eh sada treba naći neku vrijednost [inlmath]A(x,y,z)[/inlmath] da bi taj izraz bio jednak nuli,i istovremeno intenzitet vektora te tačke i tačke [inlmath]T[/inlmath] da bude jednak [inlmath]\sqrt3[/inlmath] jel tako?

Ne znam kako da to nađem :(
Shady  OFFLINE
 
Postovi: 34
Zahvalio se: 19 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Prava i ravan

Postod Daniel » Sreda, 02. Septembar 2015, 09:24

Shady je napisao:Postavim ja uslov okomitosti između vektora prave [inlmath]a[/inlmath] i vektora [inlmath]\vec{AT}[/inlmath] i kada ih izmnožim dobijem nešto slično jednačini ravni :
[dispmath]-2x-3y-z+9=0[/dispmath]

To i jeste jednačina ravni. Na ovaj način na koji si radio, ti si, zapravo, postavio ravan koja je normalna na pravu [inlmath]a[/inlmath] i koja sadrži tačku [inlmath]T[/inlmath].

Ali, nisam siguran da bi ovaj način doveo do rezultata. Ja bih to radio ovako:

Napišeš prvo jednačinu tražene ravni u opštem obliku: [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath].

Postaviš zatim uslov da tražena ravan sadrži tačku koja pripada pravoj [inlmath]a[/inlmath] (budući da sadrži pravu [inlmath]a[/inlmath]) – time dobiješ prvu jednačinu s četiri nepoznate – [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath].

Zatim napišeš uslov da je vektor normale tražene ravni normalan na vektor pravca prave [inlmath]a[/inlmath]. To je druga jednačina s četiri nepoznate.

Pošto je dato rastojanje tražene ravni od zadate tačke [inlmath]T[/inlmath], primeniš formulu za rastojanje tačke [inlmath]T\left(x_0,y_0,z_0\right)[/inlmath] od ravni [inlmath]\alpha:\;Ax+By+Cz+D=0[/inlmath]:
[dispmath]d\left(T,\alpha\right)=\frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/dispmath]
uvrstiš poznate koordinate tačke [inlmath]T[/inlmath] i ceo taj izraz izjednačiš s poznatim rastojanjem [inlmath]\sqrt3[/inlmath]. Time si dobio treću jednačinu s četiri nepoznate.

Te tri jednačine s četiri nepoznate sasvim su dovoljne za određivanje jednačine tražene ravni. To je zbog toga, što jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvek možemo pomnožiti nekom konstantom [inlmath]k[/inlmath], pa dobiti [inlmath]kAx+kBy+kCz+kD=0[/inlmath]. Prema tome, ovde imamo taj stepen slobode da vrednost jedne od promenljivih [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] ili [inlmath]D[/inlmath] biramo proizvoljno, a ostale izrazimo preko nje, što činimo na osnovu prethodno dobijene tri jednačine s četiri nepoznate.


Uoči da se u ovom zadatku dobiju dva rešenja, budući da se tačka [inlmath]T[/inlmath] može naći i s jedne i s druge strane ravni, na istom zadatom rastojanju.



I, da malo korigujem i dopunim rečenicu iz svog prethodnog posta,
Daniel je napisao:Intenzitet vektora nam ništa ne govori o vrednostima njegovih komponenata.

Intenzitet vektora nam jedino govori kolika je maksimalna moguća vrednost njegovih komponenata. Tj. nijedna od komponenata vektora ne može biti veća od njegovog intenziteta. Ali, i dalje stoji to da nam intenzitet vektora ništa ne govori o međusobnom odnosu njegovih komponenata, kao i o njihovim tačnim vrednostima (to, naravno, ne važi za nula-vektor, iz čijeg intenziteta koji je jednak nuli odmah zaključujemo i da su mu sve komponente jednake nuli).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs