Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Određivanje jednačina pravih i ravni

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Određivanje jednačina pravih i ravni

Postod Littlefinger » Sreda, 09. Decembar 2015, 01:53

Imam problema oko nekolika zadatka:

1.Odrediti jednačinu prave [inlmath]l[/inlmath] koja leži u ravni [inlmath]\alpha:\;x+y=0[/inlmath] i siječe prave
[dispmath]p:\;\frac{x−1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{-1}[/dispmath]
i
[dispmath]q:\;\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}[/dispmath]

Razdvojim prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] na segmentne jednacine i onda nadjem tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath] (tako sam ih nazvao). Ali ne znam sta da radim sa podatkom da prava lezi u ravni. To mi ne daje iste(slicne) podatke kao na primjer kada imam 3cu pravu kojoj je paralelna trazena prava.

Takodje jedan (cini mi se slican zadatak):

2.Sastaviti jednacinu prave koja lezi u ravni [inlmath]x-4y+2z+1=0[/inlmath] i prolazi kroz tacku u kojoj ova ravan sece pravu (prava je data kao presjek ravni)
[dispmath]p:\begin{cases}
x-2y-4z+3=0\\
2x+y-3z+1=0
\end{cases}[/dispmath]
i normalna ja na ovoj pravoj.

3. Naći jednačinu ravni koja sadrži pravu
[dispmath]p:\;\frac{x−1}{1}=\frac{y}{−2}=\frac{z}{1}[/dispmath]
a na osama [inlmath]Oy[/inlmath] i [inlmath]Oz[/inlmath] odsijeca odsječke jednake dužine.

Iskreno ovdje ne znam ni gdje da pocnem. Probao sam nesto sa segmentom jednacinom prave ali bi uvijek dosao u sitaciju gdje imam vise nepoznatih nego jednacina.

Izvinte sto napravih 3 teme,zasteko mi internet i neku mi gresku prikazalo
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 09. Decembar 2015, 09:21, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika; izmena naziva teme („Par zadataka“) u adekvatniji – tačka 9. Pravilnika!
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Određivanje jednačina pravih i ravni

Postod Daniel » Sreda, 09. Decembar 2015, 10:04

Littlefinger je napisao:Izvinte sto napravih 3 teme,zasteko mi internet i neku mi gresku prikazalo

Nije problem, uklonio sam ih. Ono na šta bih ti skrenuo pažnju, to je sledeće:
Za pisanje matematičkih izraza obavezno koristi Latex (tačka 13. Pravilnika). Čak i ako nisi pročitao Pravilnik (što si kao registrovan član svakako dužan da učiniš), ako si pre slanja ovog posta pregledao neke od dosadašnjih tema na forumu, sigurno si mogao uočiti da je u tim temama korišćen Latex radi preglednog i nedvosmislenog prikaza matematičkih izraza.
A ako već ne koristiš Latex, onda je vrlo, vrlo nepravilno da pišeš
x − 1/1=y+1/-2=z+1/-1
jer bi to, zbog prioriteta operacije deljenja nad operacijom sabiranja, bilo isto kao da si napisao [inlmath]x−\frac{1}{1}=y+\frac{1}{-2}=z+\frac{1}{-1}[/inlmath].
Korigovao sam ti post, tj. prebacio matematičke izraze u Latex.
Naslov koji si dao ovoj temi, „Par zadataka“, nije bio adekvatan, pa sam je preimenovao. Tačkom 9. Pravilnika objašnjeno je kakve nazive treba davati temama, a kakve ne, čak su i navedeni neki primeri naslova koji nisu dozvoljeni, a upravo se naziv „Par zadataka“ nalazi među njima.

Ipak, nisam ti uklonio ovaj post, budući da si nov, a i zbog toga što si, ipak, kod 1. i kod 3. zadatka ispoštovao tačku 6, koju, pored tačke o Latexu, smatramo najvažnijom.

OK, da krenemo sad na posô. :)

Littlefinger je napisao:1.Odrediti jednačinu prave [inlmath]l[/inlmath] koja leži u ravni [inlmath]\alpha:\;x+y=0[/inlmath] i siječe prave
[dispmath]p:\;\frac{x−1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{-1}[/dispmath]
i
[dispmath]q:\;\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}[/dispmath]

Razdvojim prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] na segmentne jednacine i onda nadjem tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath] (tako sam ih nazvao). Ali ne znam sta da radim sa podatkom da prava lezi u ravni.

Pokušaj situaciju iz ovog zadatka da zamisliš u prostoru. Ako tražena prava [inlmath]l[/inlmath] pripada ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] i seče prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], to znači da tražena prava [inlmath]l[/inlmath] sadrži tačke prodora pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] kroz ravan [inlmath]\alpha[/inlmath].
Dakle, odrediš tačke prodora pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] kroz ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], a zatim povučeš pravu [inlmath]l[/inlmath] kroz te dve tačke. I to ti je ceo zadatak. :)

Littlefinger je napisao:3. Naći jednačinu ravni koja sadrži pravu
[dispmath]p:\;\frac{x−1}{1}=\frac{y}{−2}=\frac{z}{1}[/dispmath]
a na osama [inlmath]Oy[/inlmath] i [inlmath]Oz[/inlmath] odsijeca odsječke jednake dužine.

Iskreno ovdje ne znam ni gdje da pocnem. Probao sam nesto sa segmentom jednacinom prave ali bi uvijek dosao u sitaciju gdje imam vise nepoznatih nego jednacina.

Pre svega, da bi odredio jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], sasvim su ti dovoljne tri jednačine, iako sama jednačina ravni ima četiri nepoznate, [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath].
Ovo je zbog toga što ravan čija je jednačina [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] takođe može da se predstavi i jednačinom [inlmath]kAx+kBy+kCz+kD=0[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] bilo koji realan broj. Znači, ova četiri koeficijenta nisu jednoznačno određena, već se jedan uzima fiksno a ostala tri se određuju prema tako utvrđenoj fiksnoj vrednosti tog jednog koeficijenta. E, za to su sasvim dovoljne tri jednačine.
Prvu jednačinu dobiješ tako što u jednačinu tražene ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvrstiš koordinate jedne tačke koja pripada toj ravni. Da li iz jednačine prave [inlmath]p[/inlmath] (koja pripada toj ravni) možeš da uočiš koja je to tačka, tj. koje su njene koordinate?
Drugu jednačinu dobiješ iz uslova da prava [inlmath]p[/inlmath] pripada traženoj ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], što znači da je vektor prave [inlmath]p[/inlmath] normalan na vektor normale tražene ravni. Da li znaš kako da odrediš vektor normale ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], i kako da postaviš uslov normalnosti dva vektora?
Treću jednačinu dobiješ iz uslova da tražena ravan na osama [inlmath]Oy[/inlmath] i [inlmath]Oz[/inlmath] odseca segmente jednakih dužina. Odsečak na osi [inlmath]Oy[/inlmath] odrediš tako što u jednačinu tražene ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvrstiš [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath] (zato jer su na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-koordinate i [inlmath]z[/inlmath]-koordinate jednaki nulama), čime dobijaš [inlmath]By+D=0[/inlmath]. Odatle je odsečak na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi jednak [inlmath]y=-\frac{D}{B}[/inlmath]. Na isti način odrediš i odsečak na [inlmath]Oz[/inlmath]-osi. Zatim izjednačiš dužine ta dva odsečka.

Littlefinger je napisao:2.Sastaviti jednacinu prave koja lezi u ravni [inlmath]x-4y+2z+1=0[/inlmath] i prolazi kroz tacku u kojoj ova ravan sece pravu (prava je data kao presjek ravni)
[dispmath]p:\begin{cases}
x-2y-4z+3=0\\
2x+y-3z+1=0
\end{cases}[/dispmath]
i normalna ja na ovoj pravoj.

Ovo ću te zamoliti da prvo dopuniš u skladu s pomenutom tačkom 6. Pravilnika. A možda bi, nakon objašnjenja 1. i 3. zadatka, već imao ideju kako da ovaj zadatak i kompletno uradiš? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Određivanje jednačina pravih i ravni

Postod Littlefinger » Sreda, 09. Decembar 2015, 23:04

Izvini za to. Bice bolje od sledeceg puta (kad ,nadam se, nekom budem pomagao oko zadataka).

1. zad. sam shvatio nije tezak zadatak samo eto te dvije dosta jednsotavno stvari nisam povezo.

2. Sam cini mi se shvatio. Taj korak gdje pretopstavljam da je neka stavka neki realan broj su mi uvijek nekako odbojni i izbjegavam da ih koristim. Mogu li na primjer staviti da je [inlmath]C=0[/inlmath] ili je prakticnije za ovaj zadatak staviti da je [inlmath]C[/inlmath] jednako nekom drugom broju?

Prvu jednacinu lako odredjujem tako sto uzmem brojeve uz [inlmath]x,y,z[/inlmath] prave.
[dispmath]M\Big(1,0,0\Big)[/dispmath]
Druga jednacina:

odredimo tako sto je skalarni proizvod vektora normal ravni [inlmath]N\Big(A,B,C\Big)[/inlmath] i vektor pravca prave [inlmath]P\Big(1,-2,1\Big)[/inlmath] izjednacimo sa nulom

Treca jednacina: Ona mi izgleda najteza. Iskreno nisam siguran do kraja sta treba da dobijem. Kako je [inlmath]D[/inlmath] za ravnu konstanto, da li ja treba da dobijem samo da je [inlmath]A=B[/inlmath]?


3. Sto se tice treceg zadatka, ispiso sam komentar nego mora da se izbrisalo kada sam nesto slektovo. Probao sam ga raditi preko skalarnog proizvoda. Odredio bih tacku presjeka ravni i prave [inlmath]p[/inlmath]. Taj prodor je tacka koja sigurno pripada trazenoj pravoj.

Kasnije bi uzeo skalarni proizvod normale ravni i vektora pravca trazene ravni i izjednacio ga sa nulom. Isto bih uradio sa vektorom pravca prave [inlmath]p[/inlmath] i trazene prave. E sad ocigledno je da imam 3 nepoznate i 2 jednacine. Da li je u ovom zadatku legitimno proizvoljno fikisirati jednu nepoznatu i u ondosu na nju dalje raditi?


Nadam se da je ovaj post dobar.

Hvala puno ;)
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Određivanje jednačina pravih i ravni

Postod Daniel » Četvrtak, 10. Decembar 2015, 09:13

Littlefinger je napisao:Nadam se da je ovaj post dobar.

Sve kako treba. :handgestures-thumbup:
Jedino, da ne bude zabune, očigledno si zadatak koji si prvobitno bio označio kao treći sada označio kao drugi, i obratno.
Dakle, idemo prvo s trećim zadatkom iz tvog početnog posta (zadatak koji si ovde označio kao 2.)
Littlefinger je napisao:2. Sam cini mi se shvatio. Taj korak gdje pretopstavljam da je neka stavka neki realan broj su mi uvijek nekako odbojni i izbjegavam da ih koristim. Mogu li na primjer staviti da je [inlmath]C=0[/inlmath] ili je prakticnije za ovaj zadatak staviti da je [inlmath]C[/inlmath] jednako nekom drugom broju?

E, to nisam naglasio – ta proizvoljna vrednost koju uzimaš za jednu od koordinata sme biti bilo koji realan broj, osim nule. Zapravo, ako bi u jednačini prave [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] neki od koeficijenata [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] bio jednak nuli, to bi predstavljalo neki od specijalnih položaja ravni, u kojem bi ta ravan bila paralelna odgovarajućoj koordinatnoj osi.
[inlmath]A=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna [inlmath]Ox[/inlmath]-osi (jer [inlmath]x[/inlmath]-koordinate njenih tačaka tada ne zavise od [inlmath]y[/inlmath]- i od [inlmath]z[/inlmath]-koordinata);
[inlmath]B=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna [inlmath]Oy[/inlmath]-osi;
[inlmath]C=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna [inlmath]Oz[/inlmath]-osi;
[inlmath]A=0[/inlmath] i [inlmath]B=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna istovremeno i [inlmath]Ox[/inlmath]-osi i [inlmath]Oy[/inlmath]-osi, tj. paralelna je [inlmath]xOy[/inlmath]-ravni, tj. tada bi se njena jednačina svela na [inlmath]Cz+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]z[/inlmath]-koordinate svih njenih tačaka bi bile međusobno jednake i iznosile bi [inlmath]z=-\frac{D}{C}[/inlmath]
itd.
Ako bi u jednačini ravni koja nema nijedan od specijalnih položaja uzeo da je neki od koeficijenata jednak nuli (npr. [inlmath]C=0[/inlmath]), tada bi i za ostale koeficijente dobio da su jednaki nuli, pa bi za jednačinu ravni dobio oblik [inlmath]0=0[/inlmath] i time, naravno, ništa nisi uradio. :)

Zapravo, davanje konkretne brojne vrednosti tom jednom koeficijentu ide na samom kraju, tek nakon što preostala tri koeficijenta izraziš preko njega. Tada ćeš i videti koja će to biti brojna vrednost kojom ćeš postići najoptimalniji (najjednostavniji) zapis jednačine ravni. Pokazaću posle to na ovom konkretnom primeru, biće jasnije. Znači, u startu samo usvojiš jedan od ta četiri koeficijenata kao nešto što ti je poznato, ali mu konkretnu brojnu vrednost pridružiš tek na samom kraju.

Littlefinger je napisao:Prvu jednacinu lako odredjujem tako sto uzmem brojeve uz [inlmath]x,y,z[/inlmath] prave.
[dispmath]M\Big(1,0,0\Big)[/dispmath]

Tako je. I zatim, pošto je to tačka koja pripada traženoj ravni, koordinate te tačke ([inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]y=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath]) uvrstiš u jednačinu tražene ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath].
Time dobijaš [inlmath]A\cdot1+B\cdot0+C\cdot0+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]\underline{A+D=0}[/inlmath], i to ti je prva jednačina.

Littlefinger je napisao:Druga jednacina:

odredimo tako sto je skalarni proizvod vektora normal ravni [inlmath]N\Big(A,B,C\Big)[/inlmath] i vektor pravca prave [inlmath]P\Big(1,-2,1\Big)[/inlmath] izjednacimo sa nulom

Dakle, pošto skalarni proizvod dva vektora predstavlja zbir proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata, ovime ćeš dobiti [inlmath]A\cdot1+B\cdot\left(-2\right)+C\cdot1=0[/inlmath], to jest [inlmath]\underline{A-2B+C=0}[/inlmath] (druga jednačina).

Littlefinger je napisao:Treca jednacina: Ona mi izgleda najteza. Iskreno nisam siguran do kraja sta treba da dobijem. Kako je [inlmath]D[/inlmath] za ravnu konstanto, da li ja treba da dobijem samo da je [inlmath]A=B[/inlmath]?

Ne, već [inlmath]B=C[/inlmath]. A evo i postupka.
Kao što sam u prethodnom postu napisao, tačka tražene ravni koja se nalazi na [inlmath]y[/inlmath]-osi imaće [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]z[/inlmath]-koordinate jednake nuli, pa kad to uvrstiš u jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], dobićeš [inlmath]By+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]y=-\frac{D}{B}[/inlmath] i to će biti dužina segmenta koji ta ravan odseca na [inlmath]y[/inlmath]-osi.
Analogno, tačka tražene ravni koja se nalazi na [inlmath]z[/inlmath]-osi imaće [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate jednake nuli, pa kad to uvrstiš u jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], dobićeš [inlmath]Cz+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]z=-\frac{D}{C}[/inlmath] i to će biti dužina segmenta koji ta ravan odseca na [inlmath]z[/inlmath]-osi.
Pošto su, prema uslovu zadatka, ova dva segmenta jednaka, pišemo
[dispmath]-\frac{D}{B}=-\frac{D}{C}[/dispmath]
odakle dobijamo da je [inlmath]\underline{B=C}[/inlmath] i to je treća jednačina.



Dakle, sistem od tri jednačine s četiri nepoznate glasiće:
[dispmath]\begin{array}{l}
A+D=0\\
A-2B+C=0\\
B=C
\end{array}[/dispmath]
Izrazićemo sve preko nepoznate [inlmath]D[/inlmath]. Odmah vidimo da je [inlmath]\underline{A=-D}[/inlmath], pa to uvrštavamo, zajedno s jednačinom [inlmath]B=C[/inlmath], u jednačinu [inlmath]A-2B+C=0[/inlmath], čime dobijamo
[dispmath]-D-2C+C=0\\
\Rightarrow\quad\underline{C=-D}[/dispmath]
a pošto je [inlmath]B=C[/inlmath], sledi i da je
[dispmath]\underline{B=-D}[/dispmath]
Sada, nakon uvrštavanja [inlmath]A=-D[/inlmath], [inlmath]B=-D[/inlmath] i [inlmath]C=-D[/inlmath] u jednačinu [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], dobijamo
[dispmath]-Dx-Dy-Dz+D=0[/dispmath]
i, iz ovog oblika vidimo da nam je, radi jednostavnosti zapisa, najzgodnije da za [inlmath]D[/inlmath] uzmemo vrednost [inlmath]D=-1[/inlmath], čime jednačina ravni postaje
[dispmath]x+y+z-1=0[/dispmath]
(Naravno, mogli smo za [inlmath]D[/inlmath] uzeti bilo koji broj različit od nule – da smo uzeli, recimo, [inlmath]D=5[/inlmath], dobili bismo jednačinu [inlmath]-5x-5y-5z+5=0[/inlmath], i to bi takođe bila sasvim ispravno napisana jednačina te iste ravni, ali očigledno da je prethodni zapis bio mnogo praktičniji.)



Nakon svega, nije zgoreg proveriti da li se dobijeni rezultat [inlmath]x+y+z-1=0[/inlmath] slaže sa zadatim podacima.
– Pošto ta ravan treba da sadrži tačku [inlmath]M\left(1,0,0\right)[/inlmath], uvrstimo te koordinate tačke i dobijamo [inlmath]1+0+0-1=0[/inlmath]. :correct:
– Pošto vektor normale ove ravni, [inlmath]\left<1,1,1\right>[/inlmath], treba da bude normalan na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]\left<1,-2,1\right>[/inlmath], njihov skalarni proizvod treba da bude jednak nuli: [inlmath]1\cdot1+1\cdot\left(-2\right)+1\cdot1=1-2+1=0[/inlmath] :correct:
– Segmenti koje ravan odseca na [inlmath]y[/inlmath]- i na [inlmath]z[/inlmath]-osi treba da budu jednaki. Dakle, segment na [inlmath]y[/inlmath]-osi dobijamo uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath] u [inlmath]x+y+z-1=0[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]y=1[/inlmath], dok segment na [inlmath]z[/inlmath]-osi dobijamo uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath] u [inlmath]x+y+z-1=0[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]z=1[/inlmath], što znači da su segmenti međusobno jednaki. :correct:


Ostao je još jedan zadatak, on dođe u toku dana. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Određivanje jednačina pravih i ravni

Postod Daniel » Četvrtak, 10. Decembar 2015, 17:31

Evo i odgovora za drugi zadatak iz tvog početnog posta, odnosno treći zadatak kako si ga naknadno označio. :)
Littlefinger je napisao:3. Sto se tice treceg zadatka, ispiso sam komentar nego mora da se izbrisalo kada sam nesto slektovo. Probao sam ga raditi preko skalarnog proizvoda. Odredio bih tacku presjeka ravni i prave [inlmath]p[/inlmath]. Taj prodor je tacka koja sigurno pripada trazenoj pravoj.

:correct:

Littlefinger je napisao:Kasnije bi uzeo skalarni proizvod normale ravni i vektora pravca trazene ravni i izjednacio ga sa nulom.

Pretpostavljam da si umesto crveno obeležene reči „ravni“ hteo da napišeš „prave“.

Littlefinger je napisao:Isto bih uradio sa vektorom pravca prave [inlmath]p[/inlmath] i trazene prave. E sad ocigledno je da imam 3 nepoznate i 2 jednacine. Da li je u ovom zadatku legitimno proizvoljno fikisirati jednu nepoznatu i u ondosu na nju dalje raditi?

Jeste, sasvim je legitimno. Može se raditi tako, ali postoji i jednostavniji način kad treba da odrediš pravu koja je normalna na dva zadata pravca. Umesto da dva puta računaš skalarni proizvod, možeš do vektora traženog pravca direktno doći tako što izračunaš vektorski proizvod ona dva pravca na koja je taj traženi pravac normalan. Ovo je posledica toga što vektorski proizvod [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath] predstavlja novi vektor, koji je normalan i na vektor [inlmath]\vec a[/inlmath] i na vektor [inlmath]\vec b[/inlmath].



Evo kako bi izgledala oba načina. Za vektor pravca [inlmath]p[/inlmath], ako si ispravno izračunao presek dve date ravni, dobio si [inlmath]\left<2,-1,1\right>[/inlmath].
Pošto traženi vektor pravca, [inlmath]\left<p_1,p_2,p_3\right>[/inlmath], treba da bude normalan na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath], njihov skalarni proizvod je jednak nuli:
[dispmath]2p_1-p_2+p_3=0[/dispmath]
A pošto, takođe, traženi vektor pravca treba da bude normalan i na vektor normale date ravni, [inlmath]\left<1,-4,2\right>[/inlmath], to i njihov skalarni proizvod treba da bude jednak nuli:
[dispmath]p_1-4p_2+2p_3=0[/dispmath]
Kad od prve jednačine oduzmemo drugu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath], dobijamo [inlmath]7p_2-3p_3=0[/inlmath], tj. [inlmath]p_2=\frac{3}{7}p_3[/inlmath].
Kad od druge jednačine oduzmemo prvu pomnoženu sa [inlmath]4[/inlmath], dobijamo [inlmath]-7p_1-2p_3=0[/inlmath], tj. [inlmath]p_1=-\frac{2}{7}p_3[/inlmath].
Prema tome, traženi vektor pravca je
[dispmath]\left<p_1,p_2,p_3\right>=\left<-\frac{2}{7}p_3,\:\frac{3}{7}p_3,\:p_3\right>[/dispmath]
ili, kad se uzme [inlmath]p_3=7[/inlmath] radi skraćivanja s vrednošću u imeniocu,
[dispmath]\left<p_1,p_2,p_3\right>=\left<-2,3,7\right>[/dispmath]

A evo i kako bi išlo preko vektorskog proizvoda. Pošto je traženi vektor [inlmath]\left<p_1,p_2,p_3\right>[/inlmath] normalan i na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath], koji iznosi [inlmath]\left<2,-1,1\right>[/inlmath], i na vektor normale date ravni, koji iznosi [inlmath]\left<1,-4,2\right>[/inlmath], traženi vektor možemo naći kao vektorski proizvod ta dva vektora na koja je normalan:
[dispmath]\left<p_1,p_2,p_3\right>=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
2 & -1 & 1\\
1 & -4 & 2
\end{vmatrix}=\bigl<\left(-1\right)\cdot2-1\cdot\left(-4\right),\;-2\cdot2+1\cdot1,\;2\cdot\left(-4\right)-\left(-1\right)\cdot1\bigr>=\left<2,-3,-7\right>[/dispmath]

Neka te ne buni to što smo radeći na jedan način dobili [inlmath]\left<-2,3,7\right>[/inlmath], a radeći na drugi način dobili [inlmath]\left<2,-3,-7\right>[/inlmath]. To su vektori koji su jednaki po intenzitetu i po pravcu, jedino su im suprotni smerovi. Ali, ovde je jedino bitno da pravilno odredimo pravac vektora, dok nam intenzitet i smer nisu od važnosti.
Uostalom, da smo u determinantu vektorskog proizvoda u drugu vrstu stavili vektor normale date ravni, a u treću vrstu vektor normale prave [inlmath]p[/inlmath], dobili bismo isti vektor kao i radeći na način preko skalarnih proizvoda:
[dispmath]\left<p_1,p_2,p_3\right>=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
1 & -4 & 2\\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}=\left<-2,3,7\right>[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Određivanje jednačina pravih i ravni

Postod Littlefinger » Četvrtak, 10. Decembar 2015, 18:16

Hvala, bio sam dosta nesiguran oko stvari u ovim zadacima. Imao sam ideju ali nijesam znao da li je tacna. Puno si mi pomogao.
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 25 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 07:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs