Littlefinger je napisao:Nadam se da je ovaj post dobar.
Sve kako treba.
Jedino, da ne bude zabune, očigledno si zadatak koji si prvobitno bio označio kao treći sada označio kao drugi, i obratno.
Dakle, idemo prvo s
trećim zadatkom iz tvog početnog posta (zadatak koji si ovde označio kao 2.)
Littlefinger je napisao:2. Sam cini mi se shvatio. Taj korak gdje pretopstavljam da je neka stavka neki realan broj su mi uvijek nekako odbojni i izbjegavam da ih koristim. Mogu li na primjer staviti da je [inlmath]C=0[/inlmath] ili je prakticnije za ovaj zadatak staviti da je [inlmath]C[/inlmath] jednako nekom drugom broju?
E, to nisam naglasio – ta proizvoljna vrednost koju uzimaš za jednu od koordinata sme biti bilo koji realan broj,
osim nule. Zapravo, ako bi u jednačini prave [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] neki od koeficijenata [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] bio jednak nuli, to bi predstavljalo neki od specijalnih položaja ravni, u kojem bi ta ravan bila paralelna odgovarajućoj koordinatnoj osi.
[inlmath]A=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna [inlmath]Ox[/inlmath]-osi (jer [inlmath]x[/inlmath]-koordinate njenih tačaka tada ne zavise od [inlmath]y[/inlmath]- i od [inlmath]z[/inlmath]-koordinata);
[inlmath]B=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna [inlmath]Oy[/inlmath]-osi;
[inlmath]C=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna [inlmath]Oz[/inlmath]-osi;
[inlmath]A=0[/inlmath] i [inlmath]B=0[/inlmath] značilo bi da je ravan paralelna istovremeno i [inlmath]Ox[/inlmath]-osi i [inlmath]Oy[/inlmath]-osi, tj. paralelna je [inlmath]xOy[/inlmath]-ravni, tj. tada bi se njena jednačina svela na [inlmath]Cz+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]z[/inlmath]-koordinate svih njenih tačaka bi bile međusobno jednake i iznosile bi [inlmath]z=-\frac{D}{C}[/inlmath]
itd.
Ako bi u jednačini ravni koja nema nijedan od specijalnih položaja uzeo da je neki od koeficijenata jednak nuli (npr. [inlmath]C=0[/inlmath]), tada bi i za ostale koeficijente dobio da su jednaki nuli, pa bi za jednačinu ravni dobio oblik [inlmath]0=0[/inlmath] i time, naravno, ništa nisi uradio.
Zapravo, davanje
konkretne brojne vrednosti tom jednom koeficijentu ide na samom kraju, tek nakon što preostala tri koeficijenta izraziš preko njega. Tada ćeš i videti koja će to biti brojna vrednost kojom ćeš postići najoptimalniji (najjednostavniji) zapis jednačine ravni. Pokazaću posle to na ovom konkretnom primeru, biće jasnije. Znači, u startu samo usvojiš jedan od ta četiri koeficijenata kao nešto što ti je poznato, ali mu konkretnu brojnu vrednost pridružiš tek na samom kraju.
Littlefinger je napisao:Prvu jednacinu lako odredjujem tako sto uzmem brojeve uz [inlmath]x,y,z[/inlmath] prave.
[dispmath]M\Big(1,0,0\Big)[/dispmath]
Tako je. I zatim, pošto je to tačka koja pripada traženoj ravni, koordinate te tačke ([inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]y=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath]) uvrstiš u jednačinu tražene ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath].
Time dobijaš [inlmath]A\cdot1+B\cdot0+C\cdot0+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]\underline{A+D=0}[/inlmath], i to ti je prva jednačina.
Littlefinger je napisao:Druga jednacina:
odredimo tako sto je skalarni proizvod vektora normal ravni [inlmath]N\Big(A,B,C\Big)[/inlmath] i vektor pravca prave [inlmath]P\Big(1,-2,1\Big)[/inlmath] izjednacimo sa nulom
Dakle, pošto skalarni proizvod dva vektora predstavlja zbir proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata, ovime ćeš dobiti [inlmath]A\cdot1+B\cdot\left(-2\right)+C\cdot1=0[/inlmath], to jest [inlmath]\underline{A-2B+C=0}[/inlmath] (druga jednačina).
Littlefinger je napisao:Treca jednacina: Ona mi izgleda najteza. Iskreno nisam siguran do kraja sta treba da dobijem. Kako je [inlmath]D[/inlmath] za ravnu konstanto, da li ja treba da dobijem samo da je [inlmath]A=B[/inlmath]?
Ne, već [inlmath]B=C[/inlmath]. A evo i postupka.
Kao što sam u prethodnom postu napisao, tačka tražene ravni koja se nalazi na [inlmath]y[/inlmath]-osi imaće [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]z[/inlmath]-koordinate jednake nuli, pa kad to uvrstiš u jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], dobićeš [inlmath]By+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]y=-\frac{D}{B}[/inlmath] i to će biti dužina segmenta koji ta ravan odseca na [inlmath]y[/inlmath]-osi.
Analogno, tačka tražene ravni koja se nalazi na [inlmath]z[/inlmath]-osi imaće [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate jednake nuli, pa kad to uvrstiš u jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], dobićeš [inlmath]Cz+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]z=-\frac{D}{C}[/inlmath] i to će biti dužina segmenta koji ta ravan odseca na [inlmath]z[/inlmath]-osi.
Pošto su, prema uslovu zadatka, ova dva segmenta jednaka, pišemo
[dispmath]-\frac{D}{B}=-\frac{D}{C}[/dispmath]
odakle dobijamo da je [inlmath]\underline{B=C}[/inlmath] i to je treća jednačina.
Dakle, sistem od tri jednačine s četiri nepoznate glasiće:
[dispmath]\begin{array}{l}
A+D=0\\
A-2B+C=0\\
B=C
\end{array}[/dispmath]
Izrazićemo sve preko nepoznate [inlmath]D[/inlmath]. Odmah vidimo da je [inlmath]\underline{A=-D}[/inlmath], pa to uvrštavamo, zajedno s jednačinom [inlmath]B=C[/inlmath], u jednačinu [inlmath]A-2B+C=0[/inlmath], čime dobijamo
[dispmath]-D-2C+C=0\\
\Rightarrow\quad\underline{C=-D}[/dispmath]
a pošto je [inlmath]B=C[/inlmath], sledi i da je
[dispmath]\underline{B=-D}[/dispmath]
Sada, nakon uvrštavanja [inlmath]A=-D[/inlmath], [inlmath]B=-D[/inlmath] i [inlmath]C=-D[/inlmath] u jednačinu [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], dobijamo
[dispmath]-Dx-Dy-Dz+D=0[/dispmath]
i, iz ovog oblika vidimo da nam je, radi jednostavnosti zapisa, najzgodnije da za [inlmath]D[/inlmath] uzmemo vrednost [inlmath]D=-1[/inlmath], čime jednačina ravni postaje
[dispmath]x+y+z-1=0[/dispmath]
(Naravno, mogli smo za [inlmath]D[/inlmath] uzeti bilo koji broj različit od nule – da smo uzeli, recimo, [inlmath]D=5[/inlmath], dobili bismo jednačinu [inlmath]-5x-5y-5z+5=0[/inlmath], i to bi takođe bila sasvim ispravno napisana jednačina te iste ravni, ali očigledno da je prethodni zapis bio mnogo praktičniji.)
Nakon svega, nije zgoreg proveriti da li se dobijeni rezultat [inlmath]x+y+z-1=0[/inlmath] slaže sa zadatim podacima.
– Pošto ta ravan treba da sadrži tačku [inlmath]M\left(1,0,0\right)[/inlmath], uvrstimo te koordinate tačke i dobijamo [inlmath]1+0+0-1=0[/inlmath].
– Pošto vektor normale ove ravni, [inlmath]\left<1,1,1\right>[/inlmath], treba da bude normalan na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]\left<1,-2,1\right>[/inlmath], njihov skalarni proizvod treba da bude jednak nuli: [inlmath]1\cdot1+1\cdot\left(-2\right)+1\cdot1=1-2+1=0[/inlmath]
– Segmenti koje ravan odseca na [inlmath]y[/inlmath]- i na [inlmath]z[/inlmath]-osi treba da budu jednaki. Dakle, segment na [inlmath]y[/inlmath]-osi dobijamo uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath] u [inlmath]x+y+z-1=0[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]y=1[/inlmath], dok segment na [inlmath]z[/inlmath]-osi dobijamo uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath] u [inlmath]x+y+z-1=0[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]z=1[/inlmath], što znači da su segmenti međusobno jednaki.
Ostao je još jedan zadatak, on dođe u toku dana.