Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Teziste tetraedra

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Teziste tetraedra

Postod Sinisa » Nedelja, 10. Januar 2016, 23:01

Ako je teziste tetraedra [inlmath]T(1,3,3)[/inlmath] a tjeme [inlmath]D(0,4,4)[/inlmath] odrediti ostala tjemena ako znamo da je tjeme [inlmath]A[/inlmath] najblize ravni [inlmath]x=0[/inlmath]

teziste tetraedra je centar opisane ili centar upisane kruznice? pretpostavljam da je to to zbog simetrije samog tetraedra... iz toga bih mogao naci poluprecnik opisani ili upisane kruznice i naci osnovicu [inlmath]a[/inlmath]... pa bih posle uz pomoc uslova da je [inlmath]A[/inlmath] najblize ravni [inlmath]x=0[/inlmath] mogao odrediti vrh [inlmath]A[/inlmath] a nakon toga i druge vrhove jer znam da je ugao izmedju stranica jednakostranicnog trougla [inlmath]60[/inlmath] stepeni... ali to je bas mnogo posla, da li postoji neki jednostavniji nacin?
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Teziste tetraedra

Postod Daniel » Sreda, 13. Januar 2016, 19:48

Prvo, tekst zadatka je tako formulisan da može pomalo da zbuni. Kad se kaže da je teme [inlmath]A[/inlmath] najbliže ravni [inlmath]x=0[/inlmath], ne misli se da je to teme bliže ravni [inlmath]x=0[/inlmath] nego ostala temena (u tom slučaju ne bismo imali dovoljno podataka), već se misli da je tetraedar tako orijentisan (s fiksiranim tačkama [inlmath]T[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]) da jedno od preostalih temena (obeležimo ga sa [inlmath]A[/inlmath]) bude na najkraćem mogućem rastojanju od ravni [inlmath]x=0[/inlmath].

Sinisa je napisao:teziste tetraedra je centar opisane ili centar upisane kruznice?

U ovom slučaju ga posmatraš kao centar opisane sfere (ne kružnice, ovo je 3D-prostor), jer će se na toj opisanoj sferi nalaziti preostala temena tetraedra koja tražiš (kada bi ga posmatrao kao centar upisane sfere, na toj upisanoj sferi bi se nalazila središta strana tog tetraedra, a ona ti u ovom zadatku nisu od interesa).

Sinisa je napisao:iz toga bih mogao naci poluprecnik opisani ili upisane kruznice i naci osnovicu [inlmath]a[/inlmath]...

Da, kao poluprečnik opisane sfere (tj. rastojanje težišta od bilo kog temena) treba da dobiješ [inlmath]\sqrt3[/inlmath].
Za osnovicu [inlmath]a[/inlmath] treba da dobiješ [inlmath]2\sqrt2[/inlmath].

Zatim je potrebno da postaviš sferu s centrom u temenu [inlmath]D[/inlmath], a čiji je poluprečnik jednak ivici [inlmath]a[/inlmath] tetraedra. Na ovoj sferi će se nalaziti preostala tri temena tetraedra.
U preseku opisane sfere (s centrom u [inlmath]T[/inlmath]) i ove sfere s centrom u [inlmath]D[/inlmath] dobija se jedna kružnica. Na toj kružnici će se nalaziti preostala tri temena tetraedra, kako god da tetraedar rotiramo oko pravca [inlmath]TD[/inlmath].
E sada, da bi odredio teme tetraedra koje je na najkraćem mogućem rastojanju od ravni [inlmath]x=0[/inlmath], potrebno je da odrediš tačku prethodno dobijene kružnice koja je na najkraćem rastojanju od ravni [inlmath]x=0[/inlmath].
To radiš tako što postavljaš neku ravan paralelnu ravni [inlmath]x=0[/inlmath]. To će biti ravan [inlmath]x=a[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] neki parametar. Promenom parametra [inlmath]a[/inlmath] ta ravan se translira u prostoru, tako da je uvek paralelna ravni [inlmath]x=0[/inlmath]. Ta ravan može posmatranu kružnicu da ne seče, može da je dodiruje i može da je seče u dvema tačkama. Treba ispitati za koju vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] će ta ravan dodirivati posmatranu kružnicu. To će se desiti za dve vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath], jedna od te dve tačke dodira biće tačka koja je najbliža ravni [inlmath]x=0[/inlmath], a druga će biti tačka koja je najdalja od ravni [inlmath]x=0[/inlmath].
Uslov dodira biće da je diskriminanta sistema jednaka nuli (za vrednost diskriminante manju od nule ravan i kružnica neće imati zajedničkih tačaka, a za vrednsot diskriminante veću od nule ravan i kružnica će se seći u dve tačke).
Treba da se dobije da je diskriminanta jednaka [inlmath]a\left(8-3a\right)[/inlmath].
Znači, tačke dodira dobijamo za [inlmath]a=0[/inlmath] i za [inlmath]a=\frac{8}{3}[/inlmath]. To jest, kad imamo ravni [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{8}{3}[/inlmath]. Pošto se traži tačka koja je najbliža ravni [inlmath]x=0[/inlmath], a mi smo upravo i dobili da se jedna od te dve dodirne tačke nalazi na ravni [inlmath]x=0[/inlmath], nju uzimamo kao onu tačku koja nam je od interesa.
Uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] u sistem jednačina, treba da se dobije [inlmath]y=2[/inlmath] i [inlmath]z=2[/inlmath], čime smo dobili tačku [inlmath]A\left(0,2,2\right)[/inlmath].
I zaista, proverom se dobije da je rastojanje [inlmath]TA[/inlmath] jednako rastojanju [inlmath]TD[/inlmath] (i jednako [inlmath]\sqrt3[/inlmath]), kao i da je rastojanje [inlmath]AD[/inlmath] jednako prethodno dobijenoj ivici tetraedra, koja iznosi [inlmath]2\sqrt2[/inlmath].

Preostaje još naći i ostala dva temena, [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Sinisa » Sreda, 13. Januar 2016, 20:30

Mislim da ostala 2 tjemena mogu naci tako sto znam da su i [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] jednako udaljeni i od [inlmath]A[/inlmath] i od [inlmath]D[/inlmath] :)
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Daniel » Sreda, 13. Januar 2016, 20:57

Postaviš sferu s centrom u temenu [inlmath]A[/inlmath], čiji je poluprečnik jednak ivici [inlmath]a[/inlmath] tetraedra. Na toj sferi se moraju nalaziti sva ostala temena tetraedra.
U preseku te sfere i one kružnice koja sadrži temena [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] tetraedra (koju si ranije već odredio) dobićeš dve tačke i te tačke će biti temena [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].
Treba da se dobije [inlmath]B\left(2,2,4\right)[/inlmath] i [inlmath]C\left(2,4,2\right)[/inlmath]. Ili obratno, kako god ih označiš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Sinisa » Sreda, 13. Januar 2016, 21:18

A kako da nadjem jednacinu te kruznice? Pokusao sam napisati obije sfere u implicitnom obliku i izjednaciti ih ali dobijem neki izraz: [inlmath]-x+y+z=4[/inlmath]
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Daniel » Sreda, 13. Januar 2016, 21:33

Kao što pravu u prostoru možeš opisati presekom dve ravni, pri čemu jednačine te dve ravni određuju tu pravu, tako i kružnicu u prostoru možeš opisati ili presekom sfere i ravni, ili presekom dve sfere.
Ovde će ta kružnica predstavljati presek dve sfere. Prva sfera je ona s centrom u [inlmath]T[/inlmath] i s poluprečnikom [inlmath]\sqrt3[/inlmath]. Druga sfera je ona s centrom u [inlmath]D[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]a[/inlmath].
To je, dakle, kružnica na kojoj se nalaze temena [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Ona će biti predstavljena dvema jednačinama.
E sad, kô što rekoh, postaviš sferu s centrom u [inlmath]A[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]a[/inlmath], koja će u preseku s prethodnom kružnicom dati temena [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].
To će ti ukupno biti tri jednačine s tri nepoznate – [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath].
Prve dve jednačine se, dakle, odnose na kružnicu koja sadrži temena [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], a treća jednačina se odnosi na sferu s centrom u temenu [inlmath]A[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Sinisa » Sreda, 13. Januar 2016, 21:51

Mozes li mi napisati jednacinu te kruznice koja nastaje kao prosjek dviju sfera?
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Daniel » Sreda, 13. Januar 2016, 22:27

Ma, možeš to i ti... :) Jednačina sfere s centrom u tački [inlmath]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]R[/inlmath] glasi
[dispmath]\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=R^2[/dispmath]
Dakle, kako glasi jednačina sfere s centrom u tački [inlmath]T[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]\sqrt3[/inlmath]?
Kako glasi jednačina sfere s centrom u tački [inlmath]D[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]a[/inlmath]?
I, na kraju, kako glasi jednačina sfere s centrom u tački [inlmath]A[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]a[/inlmath]?
([inlmath]a=2\sqrt2[/inlmath])
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Sinisa » Sreda, 13. Januar 2016, 22:36

To kasnije znam uraditi ali mi je problem naci tacku [inlmath]A[/inlmath], jer ne mogu da nadjem kruznicu koja nastaje kao presjek tih sfera.
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Teziste tetraedra

Postod Sinisa » Sreda, 13. Januar 2016, 22:53

Uspio sam sve rjesiti :) Hvala puno!
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs