Prvo, tekst zadatka je tako formulisan da može pomalo da zbuni. Kad se kaže da je teme [inlmath]A[/inlmath] najbliže ravni [inlmath]x=0[/inlmath], ne misli se da je to teme bliže ravni [inlmath]x=0[/inlmath] nego ostala temena (u tom slučaju ne bismo imali dovoljno podataka), već se misli da je tetraedar tako orijentisan (s fiksiranim tačkama [inlmath]T[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]) da jedno od preostalih temena (obeležimo ga sa [inlmath]A[/inlmath]) bude na najkraćem mogućem rastojanju od ravni [inlmath]x=0[/inlmath].
Sinisa je napisao:teziste tetraedra je centar opisane ili centar upisane kruznice?
U ovom slučaju ga posmatraš kao centar opisane
sfere (ne kružnice, ovo je 3D-prostor), jer će se na toj opisanoj sferi nalaziti preostala temena tetraedra koja tražiš (kada bi ga posmatrao kao centar
upisane sfere, na toj upisanoj sferi bi se nalazila središta strana tog tetraedra, a ona ti u ovom zadatku nisu od interesa).
Sinisa je napisao:iz toga bih mogao naci poluprecnik opisani ili upisane kruznice i naci osnovicu [inlmath]a[/inlmath]...
Da, kao poluprečnik opisane sfere (tj. rastojanje težišta od bilo kog temena) treba da dobiješ [inlmath]\sqrt3[/inlmath].
Za osnovicu [inlmath]a[/inlmath] treba da dobiješ [inlmath]2\sqrt2[/inlmath].
Zatim je potrebno da postaviš sferu s centrom u temenu [inlmath]D[/inlmath], a čiji je poluprečnik jednak ivici [inlmath]a[/inlmath] tetraedra. Na ovoj sferi će se nalaziti preostala tri temena tetraedra.
U preseku opisane sfere (s centrom u [inlmath]T[/inlmath]) i ove sfere s centrom u [inlmath]D[/inlmath] dobija se jedna kružnica. Na toj kružnici će se nalaziti preostala tri temena tetraedra, kako god da tetraedar rotiramo oko pravca [inlmath]TD[/inlmath].
E sada, da bi odredio teme tetraedra koje je na najkraćem mogućem rastojanju od ravni [inlmath]x=0[/inlmath], potrebno je da odrediš tačku prethodno dobijene kružnice koja je na najkraćem rastojanju od ravni [inlmath]x=0[/inlmath].
To radiš tako što postavljaš neku ravan paralelnu ravni [inlmath]x=0[/inlmath]. To će biti ravan [inlmath]x=a[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] neki parametar. Promenom parametra [inlmath]a[/inlmath] ta ravan se translira u prostoru, tako da je uvek paralelna ravni [inlmath]x=0[/inlmath]. Ta ravan može posmatranu kružnicu da ne seče, može da je dodiruje i može da je seče u dvema tačkama. Treba ispitati za koju vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] će ta ravan
dodirivati posmatranu kružnicu. To će se desiti za dve vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath], jedna od te dve tačke dodira biće tačka koja je najbliža ravni [inlmath]x=0[/inlmath], a druga će biti tačka koja je najdalja od ravni [inlmath]x=0[/inlmath].
Uslov dodira biće da je diskriminanta sistema jednaka nuli (za vrednost diskriminante manju od nule ravan i kružnica neće imati zajedničkih tačaka, a za vrednsot diskriminante veću od nule ravan i kružnica će se seći u dve tačke).
Treba da se dobije da je diskriminanta jednaka [inlmath]a\left(8-3a\right)[/inlmath].
Znači, tačke dodira dobijamo za [inlmath]a=0[/inlmath] i za [inlmath]a=\frac{8}{3}[/inlmath]. To jest, kad imamo ravni [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{8}{3}[/inlmath]. Pošto se traži tačka koja je najbliža ravni [inlmath]x=0[/inlmath], a mi smo upravo i dobili da se jedna od te dve dodirne tačke nalazi na ravni [inlmath]x=0[/inlmath], nju uzimamo kao onu tačku koja nam je od interesa.
Uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] u sistem jednačina, treba da se dobije [inlmath]y=2[/inlmath] i [inlmath]z=2[/inlmath], čime smo dobili tačku [inlmath]A\left(0,2,2\right)[/inlmath].
I zaista, proverom se dobije da je rastojanje [inlmath]TA[/inlmath] jednako rastojanju [inlmath]TD[/inlmath] (i jednako [inlmath]\sqrt3[/inlmath]), kao i da je rastojanje [inlmath]AD[/inlmath] jednako prethodno dobijenoj ivici tetraedra, koja iznosi [inlmath]2\sqrt2[/inlmath].
Preostaje još naći i ostala dva temena, [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]...