Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednačina sečice elipse

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Jednačina sečice elipse

Postod forzajuve » Četvrtak, 25. April 2013, 20:57

Data je tacka [inlmath]P(1,1)[/inlmath] i elipsa [inlmath]9x^2+16y^2=144[/inlmath] Koja je jednacina secice elipse kojoj je [inlmath]P[/inlmath] srediste?

Kada prebacimo u kanonski oblik jednacina elipse glasi:

[inlmath]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1[/inlmath] i odatle dobijamo da je [inlmath]a=4,\;b=3[/inlmath]
E sad dalje mi nije jasno - valjda bi trebalo da se trazi presek elipse i sekante da bi se utvrdilo da li je prava paralelna sa [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] osom pa onda da se nadje jednacina te sekante. Ali ne znam kako bih to odradio - preko kojih formula
Korisnikov avatar
 
Postovi: 130
Zahvalio se: 115 puta
Pohvaljen: 103 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Petak, 26. April 2013, 07:12

Da se nađu preseci elipse i sečice – to da, ali ne razumem ovo s paralelnošću s nekom od osa. :?
Takođe, nema potrebe ni za prebacivanjem u kanonski oblik.

Ako obeležimo jedan presek sa [inlmath]A\left(x_A,y_A\right)[/inlmath], a drugi sa [inlmath]B\left(x_B,y_B\right)[/inlmath], kao na slici:

elipsa.png
elipsa.png (4.09 KiB) Pogledano 3223 puta

tada će koordinate tačke [inlmath]P[/inlmath], koja se nalazi tačno na sredini duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], biti:[dispmath]x_P=\frac{x_A+x_B}{2},\quad y_P=\frac{y_A+y_B}{2}[/dispmath][dispmath]1=\frac{x_A+x_B}{2},\quad 1=\frac{y_A+y_B}{2}[/dispmath][dispmath]x_A+x_B=2,\quad y_A+y_B=2[/dispmath][dispmath]x_B=2-x_A,\quad y_B=2-y_A[/dispmath]
Pošto tačka [inlmath]A[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_A^2+16y_A^2=144\quad\left(1\right)[/dispmath]
Pošto i tačka [inlmath]B[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_B^2+16y_B^2=144[/dispmath][dispmath]9\left(2-x_A\right)^2+16\left(2-y_A\right)^2=144\quad\left(2\right)[/dispmath]
Jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] čine sistem od dve jednačine s dve nepoznate, iz kojeg možemo naći koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath].
Naravno, treba da se dobiju dva rešenja, pošto postoje dva preseka elipse i sečice.
Jedno rešenje će biti[dispmath]A\left(1-\frac{4\sqrt{119}}{15},1+\frac{3\sqrt{119}}{20}\right)[/dispmath]a drugo[dispmath]A\left(1+\frac{4\sqrt{119}}{15},1-\frac{3\sqrt{119}}{20}\right)[/dispmath](Zapravo, ovo drugo rešenje bi odgovaralo tački [inlmath]B[/inlmath] sa crteža.)

Sada možemo sasvim lako naći jednačinu sečice, pošto imamo koordinate triju tačaka koje ista sadrži, a dovoljne su nam dve.
Koristimo formulu za jednačinu prave kada su poznate njene dve tačke:[dispmath]y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\left(x-x_A\right)[/dispmath]
Ovde nam je jednostavnije da koristimo tačku [inlmath]P[/inlmath] (zato što ima „lepše“ koordinate) i jednu od ove dve presečne tačke (recimo, tačku [inlmath]A[/inlmath]):[dispmath]y-y_P=\frac{y_A-y_P}{x_A-x_P}\left(x-x_P\right)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{1+\frac{3\sqrt{119}}{20}-1}{1-\frac{4\sqrt{119}}{15}-1}\left(x-1\right)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{\frac{3}{20}}{-\frac{4}{15}}\left(x-1\right)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{9}{16}\left(1-x\right)[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{9}{16}+1[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod forzajuve » Petak, 26. April 2013, 09:58

Bio sam siguran da ce se jednacina secice traziti preko jednacine prave kada su date dve tacke - ali nisam znao kako da nadjem drugu tacku - sada znam. Hvala ti :D :bonk: :bow-yellow:
Korisnikov avatar
 
Postovi: 130
Zahvalio se: 115 puta
Pohvaljen: 103 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod lowzyyy » Subota, 27. Jun 2015, 00:46

Meni nije jasno kako da iz tog sistema nadjemo koordinate ?
Je l iz prve izrazimo npr [inlmath]x_A[/inlmath] pa onda zamenimo u drugu ?
Poslednji put menjao desideri dana Subota, 27. Jun 2015, 01:17, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka slovne greške u kucanju.
lowzyyy  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 8 puta

  • +2

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Subota, 27. Jun 2015, 01:22

Kad razviješ jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] dobićeš
[dispmath]36-36x_A+9x_A^2+64-64y_A+16y_A^2=144\\
36-36x_A+64-64y_A+\underbrace{9x_A^2+16y_A^2}_{\begin{matrix}144\mbox{, na osnovu}\\\mbox{ jednačine }\left(1\right)\end{matrix}}=144\\
36-36x_A+64-64y_A=0\\
y_A=\frac{25-9x_A}{16}[/dispmath]
i onda to uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu,
[dispmath]9x_A^2+16\left(\frac{25-9x_A}{16}\right)^2=144\\
\vdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod lowzyyy » Sreda, 11. Maj 2016, 18:02

Mislim da je [inlmath]y[/inlmath] koordinata [inlmath]10+[/inlmath], a kod tacke [inlmath]B[/inlmath] [inlmath]10-[/inlmath] umesto [inlmath]1+[/inlmath] i [inlmath]1-[/inlmath] jer bi trebalo da je [inlmath]-b=400[/inlmath], a ako smo skracivali sa [inlmath]40[/inlmath] onda je [inlmath]\frac{400}{40}=10[/inlmath]. Mozda negde gresim ali vise puta sam uradio...
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 12. Maj 2016, 00:11, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika!
lowzyyy  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 8 puta

  • +1

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Četvrtak, 12. Maj 2016, 00:01

Možeš li malo da pojasniš pitanje?

lowzyyy je napisao:Mislim da je [inlmath]y[/inlmath] koordinata [inlmath]10+[/inlmath], a kod tacke [inlmath]B[/inlmath] [inlmath]10-[/inlmath] umesto [inlmath]1+[/inlmath] i [inlmath]1-[/inlmath]

Šta znače oznake [inlmath]10+[/inlmath], [inlmath]10-[/inlmath], [inlmath]1+[/inlmath] i [inlmath]1-[/inlmath]?

lowzyyy je napisao:jer bi trebalo da je [inlmath]-b=400[/inlmath],

To bi značilo da je [inlmath]b=-400[/inlmath], tj. da je [inlmath]b[/inlmath] negativno. Međutim, [inlmath]b[/inlmath] označava poluosu elipse i pozitivan je broj.
Osim toga, u prvom postu ove teme na vrlo jednostavan način je pokazano da je [inlmath]b=3[/inlmath].

lowzyyy je napisao:Mozda negde gresim ali vise puta sam uradio...

Grešiš sigurno, jer je slika koju sam priložio vrlo precizna i u srazmeri, a sa nje se vidi i da su vrednosti koje smo dobili ispravne.
Napiši ovde to što si uradio, pa ćemo da prodiskutujemo – ovako, bez tvog postupka, možemo samo da nagađamo.

I, molim te, koristi Latex.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod lowzyyy » Ponedeljak, 23. Maj 2016, 00:28

Sve vreme sam radio sam [inlmath]Xb^2[/inlmath] umesto [inlmath](2-Xb)^2[/inlmath] i isto tako sa [inlmath](2-Yb)^2[/inlmath]
A latex nisam mogao jer sam bio u zurbi, nece se ponoviti
lowzyyy  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 8 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod Daniel » Ponedeljak, 23. Maj 2016, 01:03

lowzyyy je napisao:Sve vreme sam radio sam [inlmath]Xb^2[/inlmath] umesto [inlmath](2-Xb)^2[/inlmath] i isto tako sa [inlmath](2-Yb)^2[/inlmath]

Žao mi je, al' stvarno ništa ne razumem ni šta si hteo ovime da kažeš, ni šta ti te oznake predstavljaju... :kojik:

Uglavnom, je l' ti sad jasno to što si pitao?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednačina sečice elipse

Postod kad » Sreda, 01. Jun 2016, 21:05

Veliki pozdrav, imam jedno pitanje:
znaci da li je
[inlmath]-36x_1-64y_1=-100[/inlmath] ... [inlmath]36x_1-64y_1=100[/inlmath] upravo ta trazena jednacina secice elipse?
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 02. Jun 2016, 12:19, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika; uklanjanje suvišnog citata – tačka 15. Pravilnika
kad  OFFLINE
 
Postovi: 52
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sledeća

Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs