Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Simetrala duži

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Simetrala duži

Postod MilosNinkovic99 » Nedelja, 27. Mart 2016, 21:02

U elipsu:
[dispmath]x^2+2y^2=36[/dispmath]
upiši jednakokraki trougao čija osnovica leži na pravoj:
[dispmath]x+y-6=0[/dispmath]
Naći ostale vrhove trougla.
Sistemom od dve jednačine sa dve nepoznate sam dobio da vrhovi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] imaju koordinate [inlmath]A(6,0)[/inlmath] i [inlmath]B(2,4)[/inlmath]. U rešenju piše da se treći vrh (vrh [inlmath]C[/inlmath]) nalazi na preseku elipse i simetrale duži [inlmath]AB[/inlmath]. Takođe piše da je simetrala duži [inlmath]AB[/inlmath] jednaka:
[dispmath]x-y-2=0[/dispmath]
Da li bi neko mogao da mi objasni kako se računaju simetrale duži?
 
Postovi: 43
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 16 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Simetrala duži

Postod Ilija » Nedelja, 27. Mart 2016, 21:55

Znaci, imas tacke [inlmath]A(6,0)[/inlmath] i [inlmath]B(2,4)[/inlmath], koje cine osnovicu trougla i neku tacku [inlmath]C(x,y)[/inlmath] koja je vrh trougla. Posto je trougao jednakokraki, rastojanja [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] moraju biti ista.

Iz te jednakosti, dakle [inlmath]d(AC)=d(BC)[/inlmath], dobices jednacinu prave koja je simetrala osnovice trougla, a ona je, kao sto si i napisao, [inlmath]x-y-2=0[/inlmath]. I nakon toga nadjes koordinate temena [inlmath]C[/inlmath].

Treba obratiti paznju i na to da ce se teme [inlmath]C[/inlmath] nalaziti u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu (sto podrazumeva negativne koordinate tacke).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Simetrala duži

Postod Daniel » Nedelja, 27. Mart 2016, 22:50

@MilosNinkovic99, dobro došao na forum. :)

Ilija je napisao:Treba obratiti paznju i na to da ce se teme [inlmath]C[/inlmath] nalaziti u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu (sto podrazumeva negativne koordinate tacke).

Nigde u tekstu zadatka nije zadat uslov da teme [inlmath]C[/inlmath] mora da se nalazi u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Može se nalaziti i u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu. Evo i ilustracije:

simetrala.png
simetrala.png (2.71 KiB) Pogledano 4097 puta

Na slici su sa [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]C_2[/inlmath] označene tačke koje predstavljaju dva moguća rešenja za treće teme jednakokrakog trougla, a žutom i plavom površi su predstavljena ta dva moguća upisana jednakokraka trougla.



Pokazao bih još jedan način nalaženja simetrale (pored Ilijinog, koji je sasvim u redu).
Simetrala duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], to je jasno, mora prolaziti kroz središte te duži (na prethodnoj slici to središte duži je presek plave i zelene prave). Koordinate središta duži predstavljaju aritmetičke sredine koordinata krajnjih tačaka duži. Krajnje tačke duži su [inlmath]A\left(6,0\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(2,4\right)[/inlmath]. Koordinate središta duži će, prema tome, biti [inlmath]\displaystyle\left(\frac{6+2}{2},\frac{0+4}{2}\right)[/inlmath], to jest [inlmath]\left(4,2\right)[/inlmath].
Takođe, simetrala neke duži je upravna na tu duž. Prema tome, postavljamo i uslov normalnosti, koji će nam, u kombinaciji s uslovom da simetrala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(4,2\right)[/inlmath], dati jednačinu te simetrale.
Za pravu koja je data jednačinom u implicitnom obliku, [inlmath]ax+by+c=0[/inlmath], jednačina prave koja je normalna na nju biće oblika [inlmath]bx-ay+d=0[/inlmath].
To znači da će jednačina prave koja je normalna na pravu [inlmath]x+y-6=0[/inlmath] biti [inlmath]x-y+d=0[/inlmath]. Znamo, dakle, da jednačina simetrale mora biti tog oblika.
Sada, uvrštavanjem koordinata tačke koju simetrala sadrži, a to je središte duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], čije su koordinate [inlmath]x=4[/inlmath] i [inlmath]y=2[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]4-2+d=0\quad\Rightarrow\quad d=-2[/dispmath]
Prema tome, jednačina tražene simetrale je [inlmath]x-y-2=0[/inlmath], isto kao i kad radimo na prethodno pokazan način.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Simetrala duži

Postod MilosNinkovic99 » Nedelja, 27. Mart 2016, 23:00

Uspio sam da rešim zadatak zbog vaše pomoći. Mnogo hvala obojici. Uopšte nisam očekivao ovako brze i detaljne odgovore. Forum je odličan, sve pohvale.
 
Postovi: 43
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 16 puta

  • +1

Re: Simetrala duži

Postod Ilija » Nedelja, 27. Mart 2016, 23:02

Daniel je napisao:Nigde u tekstu zadatka nije zadat uslov da teme [inlmath]C[/inlmath] mora da se nalazi u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Može se nalaziti i u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu.

Da...ovo je veoma zanimljiv propust koji sam napravio (meni zanimljiv).
Moracu da povedem racuna o ovakvim sitnicama koje zivot i poene na prijemnom znace. :D
Povuklo me da ce teme ici samo na levo, pa automatski odbacih drugo resenje (za [inlmath]I[/inlmath] kvadrant). :think1:

I da ovaj nacin za nalazenje simetrale, koji je @Daniel pokazao, je svakako za nijansu brzi i elegantniji, i svakako sa manje racuna. :)

Dobrodislica i od mene...ne napisah malopre. :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 25 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 01:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs