Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Cetvorougao ABCD

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Cetvorougao ABCD

Postod matija » Četvrtak, 31. Mart 2016, 19:07

Koordinate tri temena [inlmath]ABCD[/inlmath] su [inlmath]A(5,5),\;B(1,3),\;C(3,-1)[/inlmath]. Temena cetvorougla [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] su redom sredista stranica [inlmath]AB,\;BC,\;CA,\;CD[/inlmath] a presek dijagonala [inlmath]A_1C_1[/inlmath] i [inlmath]B_1D_1[/inlmath] je tacka [inlmath]S_1(4,3)[/inlmath]. Odrediti koordinate temena [inlmath]D[/inlmath] i odnos povrsina dva cetvorougla.

posto sam iz skalarnog proizvoda [inlmath]\vec{BA}\circ\vec{BC}[/inlmath] dobio nulu znaci da je ovaj cetvorougao kvadrat, i inteziteti vektora su jednaki. Kako da dobijem teme [inlmath]D(7,1)[/inlmath] a da ne koristim uslov [inlmath]k_1k_2=-1[/inlmath]. Zadatak je tacno prepisan ali ja mislim da su pogresili pa umesto srediste [inlmath]CD[/inlmath] su napisali [inlmath]CA[/inlmath] i da [inlmath]S_1[/inlmath] nije [inlmath](4,3)[/inlmath] vec [inlmath](4,2)[/inlmath] , hvala unapred.
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Cetvorougao ABCD

Postod matija » Četvrtak, 31. Mart 2016, 21:46

moja greska sredina stranica [inlmath]AB,\;BC,\;CA,\;AD[/inlmath] ja mislim da je ovo [inlmath]CA[/inlmath] greska jer onda ispadne trougao a ne cetvorougao
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta

Re: Cetvorougao ABCD

Postod pentagram142857 » Četvrtak, 31. Mart 2016, 22:02

Tacno je da mora da bude [inlmath]S(4,2)[/inlmath]. Kod kvadrata se dijagonale polove sto znaci da je [inlmath]S[/inlmath] sredisnja tacka duzi [inlmath]BD[/inlmath]. Primeni dakle formulu za sredisnju tacku. Dobijas sistem:
[dispmath]4=\frac{1+x_2}{2}[/dispmath][dispmath]2=\frac{3+y_2}{2}[/dispmath]
[inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath] su kordinate tacke [inlmath]D[/inlmath]. Odnos povrsina nadjes tako sto prvo nadjes stranice tih kvadrata pomocu one formule za rastojanje dve tacke.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

  • +1

Re: Cetvorougao ABCD

Postod bole » Četvrtak, 31. Mart 2016, 22:18

iako je @pentagram odgovorio ali da predložim drugi način vezan za tačku [inlmath]S_1[/inlmath]
[inlmath]S_1[/inlmath] nije [inlmath](4,3)[/inlmath] to možemo lako utvditi ako odredimo koordinate tačaka [inlmath]A_1(3,4)[/inlmath] i [inlmath]C_1(4,2)[/inlmath] i postavimo pravu kroz te dvije tačke dobijamo da tačka [inlmath]S_1[/inlmath] ne pripada toj pravoj, te ne može predstavljati presjek te prave sa nekom drugom pravom.

Meni je ovo upalo u oči
matija je napisao:posto sam iz skalarnog proizvoda [inlmath]\vec{BA}\circ\vec{BC}[/inlmath] dobio nulu znaci da je ovaj cetvorougao kvadrat

zar ti sa tim nisi pokazao da su stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] međusobno normalne (upravne), a kako onda kažemo da je čitavo tijelo kvadrat, moguće da sam ja nešta zaboravio nisam dugo radio ovu oblast.
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

Re: Cetvorougao ABCD

Postod matija » Petak, 01. April 2016, 12:52

@bole u pravu si , lepo je napisano cetvorougao nego sam ja zakljucio kvadrat jer mi je bilo lakse , kad se uradi zadatak kako treba bice na pola stranice [inlmath]CD[/inlmath] , pa ce da se iskoriste tacke [inlmath]A_1,S_1[/inlmath] da se napravi prava na kojoj ce biti [inlmath]C_1[/inlmath] i prava sa tackama [inlmath]B_1,S_1[/inlmath] na kojoj je [inlmath]D_1[/inlmath] da bi se dobio sistem za tacku [inlmath]D[/inlmath] gde cemo izraziti tacke [inlmath]D_1,C_1[/inlmath] uz pomoc tacke [inlmath]D[/inlmath] pa ubaciti odgovarajuce tacke u prave da bi dobili sistem sa dve jednacine i dve nepoznate pa na kraju dobili i tacku [inlmath]D[/inlmath]
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta

  • +1

Re: Cetvorougao ABCD

Postod Daniel » Subota, 02. April 2016, 08:41

@pentagram142857, tvoj način razmišljanja jeste ispravan, ali si krenuo od pogrešne pretpostavke da je [inlmath]ABCD[/inlmath] kvadrat. A čim je pretpostavka pogrešna, tada, bez obzira na ispravnost razmišljanja, ni krajnji zaključak nije tačan. :(

@bole, negde u tekstu zadatka je očigledno greška, kako je i sâm pokretač teme, matija, primetio. E sad, ti si pretpostavio da [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]D_1[/inlmath] jesu redom središta stranica [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]\color{red}CA[/inlmath] i [inlmath]AD[/inlmath] (onako kako piše u tekstu), pa si uz tu pretpostavku ispravno zaključio da [inlmath]S_1[/inlmath] nikako ne može imati koordinate [inlmath]\left(4,3\right)[/inlmath] (kako takođe piše u tekstu).

Međutim, ako bismo pretpostavili da su [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]D_1[/inlmath] redom središta stranica [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]\color{red}CD[/inlmath] i [inlmath]DA[/inlmath] (što je matija i spomenuo kao mogućnost, a što bi bilo i logičnije nego onako kako je napisano), tada bi se bez problema mogao upotrebiti podatak [inlmath]S_1\left(4,3\right)[/inlmath] i sve bi se lepo slágalo. Kao rezultat bi se dobilo [inlmath]D\left(7,5\right)[/inlmath], [inlmath]A_1\left(3,4\right)[/inlmath], [inlmath]B_1\left(2,1\right)[/inlmath], [inlmath]C_1\left(5,2\right)[/inlmath] i [inlmath]D_1\left(6,5\right)[/inlmath].

Hoćete da pokušate na taj način?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Cetvorougao ABCD

Postod Daniel » Nedelja, 03. April 2016, 20:04

OK, da malo pripomognem... Rešavanje se dosta pojednostavljuje ako uočimo da je četvorougao [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] paralelogram. To se lako dokazuje geometrijski, preko sličnosti trouglova. Pošto dokaz nije dugačak, napisaću ga časkom:

cetvorouglovi.png
cetvorouglovi.png (2.17 KiB) Pogledano 2748 puta

[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\overline{A_1B}:\overline{AB}=\overline{BB_1}:\overline{BC}=1:2\\
\angle A_1BB_1=\angle ABC
\end{array}\right\}\quad\overset{\text{SUS}}{\Longrightarrow}\quad\triangle A_1BB_1\sim\triangle ABC\quad\Longrightarrow\\
\Longrightarrow\quad\overline{A_1B_1}:\overline{AC}=\overline{A_1B}:\overline{AB}=1:2\quad\Longrightarrow\quad\overline{A_1B_1}=\frac{1}{2}\overline{AC}[/dispmath]
Na isti način se dokazuje da je [inlmath]\overline{C_1D_1}=\frac{1}{2}\overline{AC}[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\overline{A_1B_1}=\overline{C_1D_1}[/inlmath], a takođe se na isti način dokazuje i [inlmath]\overline{B_1C_1}=\overline{D_1A_1}\left(=\frac{1}{2}\overline{BD}\right)[/inlmath], čime je dokazano da je [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] paralelogram.



E sad, nakon ove digresije da se vratimo na zadatak. Dakle, radimo kao da je napisano da su [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]D_1[/inlmath] središta stranica [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]\color{red}CD[/inlmath] i [inlmath]DA[/inlmath] (tim pre, što je u tekstu napisano da su to stranice, a [inlmath]CA[/inlmath] nije stranica već dijagonala, tako da je to sa [inlmath]CA[/inlmath] očigledno greška).
Pošto su date tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], lako odredimo [inlmath]A_1[/inlmath] kao središte stranice [inlmath]\overline{AB}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] paralelogram, a kod paralelograma se dijagonale međusobno polove, to znači da će presek dijagonala [inlmath]S_1[/inlmath] (koji je dat) biti središte duži [inlmath]\overline{A_1C_1}[/inlmath]. Odatle nađemo tačku [inlmath]C_1[/inlmath].
Pošto je [inlmath]C_1[/inlmath] središte duži [inlmath]\overline{CD}[/inlmath], a tačke [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]C_1[/inlmath] imamo, odatle odredimo tačku [inlmath]D[/inlmath].



Što se tiče odnosa površina [inlmath]ABCD[/inlmath] i [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath], sad opet malo „klasične“ geometrije – lako se pokazuje da je taj odnos [inlmath]2:1[/inlmath], ne samo kod ovih konkretnih koordinata tačaka, nego i u opštem slučaju kada središta stranica jednog četvorougla čine temena drugog četvorougla. Radi dokaza, koriste se sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A_1BB_1[/inlmath], [inlmath]\triangle BCD\sim\triangle B_1CC_1[/inlmath], [inlmath]\triangle CDA\sim\triangle C_1DD_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAB\sim\triangle D_1AA_1[/inlmath]. Pošto njihove stranice stoje u odnosu [inlmath]2:1[/inlmath], površine će im stajati u odnosu [inlmath]4:1[/inlmath]. Uočiti da je površina paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka polovini zbira površina trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], [inlmath]\triangle BCD[/inlmath], [inlmath]\triangle CDA[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAB[/inlmath], a da je površina paralelograma [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] jednaka površini četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] umanjenoj za zbir površina trouglova [inlmath]\triangle A_1BB_1[/inlmath], [inlmath]\triangle B_1CC_1[/inlmath], [inlmath]\triangle C_1DD_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle D_1AA_1[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs