OK, da malo pripomognem... Rešavanje se dosta pojednostavljuje ako uočimo da je četvorougao [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] paralelogram. To se lako dokazuje geometrijski, preko sličnosti trouglova. Pošto dokaz nije dugačak, napisaću ga časkom:
- cetvorouglovi.png (2.17 KiB) Pogledano 2748 puta
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\overline{A_1B}:\overline{AB}=\overline{BB_1}:\overline{BC}=1:2\\
\angle A_1BB_1=\angle ABC
\end{array}\right\}\quad\overset{\text{SUS}}{\Longrightarrow}\quad\triangle A_1BB_1\sim\triangle ABC\quad\Longrightarrow\\
\Longrightarrow\quad\overline{A_1B_1}:\overline{AC}=\overline{A_1B}:\overline{AB}=1:2\quad\Longrightarrow\quad\overline{A_1B_1}=\frac{1}{2}\overline{AC}[/dispmath]
Na isti način se dokazuje da je [inlmath]\overline{C_1D_1}=\frac{1}{2}\overline{AC}[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\overline{A_1B_1}=\overline{C_1D_1}[/inlmath], a takođe se na isti način dokazuje i [inlmath]\overline{B_1C_1}=\overline{D_1A_1}\left(=\frac{1}{2}\overline{BD}\right)[/inlmath], čime je dokazano da je [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] paralelogram.
E sad, nakon ove digresije da se vratimo na zadatak. Dakle, radimo kao da je napisano da su [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]D_1[/inlmath] središta stranica [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]\color{red}CD[/inlmath] i [inlmath]DA[/inlmath] (tim pre, što je u tekstu napisano da su to
stranice, a [inlmath]CA[/inlmath] nije stranica već dijagonala, tako da je to sa [inlmath]CA[/inlmath] očigledno greška).
Pošto su date tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], lako odredimo [inlmath]A_1[/inlmath] kao središte stranice [inlmath]\overline{AB}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] paralelogram, a kod paralelograma se dijagonale međusobno polove, to znači da će presek dijagonala [inlmath]S_1[/inlmath] (koji je dat) biti središte duži [inlmath]\overline{A_1C_1}[/inlmath]. Odatle nađemo tačku [inlmath]C_1[/inlmath].
Pošto je [inlmath]C_1[/inlmath] središte duži [inlmath]\overline{CD}[/inlmath], a tačke [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]C_1[/inlmath] imamo, odatle odredimo tačku [inlmath]D[/inlmath].
Što se tiče odnosa površina [inlmath]ABCD[/inlmath] i [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath], sad opet malo „klasične“ geometrije – lako se pokazuje da je taj odnos [inlmath]2:1[/inlmath], ne samo kod ovih konkretnih koordinata tačaka, nego i u opštem slučaju kada središta stranica jednog četvorougla čine temena drugog četvorougla. Radi dokaza, koriste se sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A_1BB_1[/inlmath], [inlmath]\triangle BCD\sim\triangle B_1CC_1[/inlmath], [inlmath]\triangle CDA\sim\triangle C_1DD_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAB\sim\triangle D_1AA_1[/inlmath]. Pošto njihove stranice stoje u odnosu [inlmath]2:1[/inlmath], površine će im stajati u odnosu [inlmath]4:1[/inlmath]. Uočiti da je površina paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka polovini zbira površina trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], [inlmath]\triangle BCD[/inlmath], [inlmath]\triangle CDA[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAB[/inlmath], a da je površina paralelograma [inlmath]A_1B_1C_1D_1[/inlmath] jednaka površini četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] umanjenoj za zbir površina trouglova [inlmath]\triangle A_1BB_1[/inlmath], [inlmath]\triangle B_1CC_1[/inlmath], [inlmath]\triangle C_1DD_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle D_1AA_1[/inlmath]...