Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Najkraće rastojanje izmedju dve prave

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Najkraće rastojanje izmedju dve prave

Postod Herien Wolf » Petak, 20. Maj 2016, 20:33

Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet - jun 2015.
2. zadatak


2. Najkraće rastojanje između pravih [inlmath]\sqrt2x+y=1[/inlmath] i [inlmath]2x+\sqrt2y=3\sqrt2[/inlmath] jednako je:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace2\qquad(B)\enspace\sqrt2-1\qquad(C)\enspace0\qquad\enclose{box}{(D)\enspace\frac{2}{3}\sqrt3}\qquad(E)\enspace\frac{\sqrt6}{6}\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
Moj postupak, izrazimo obe prave u eksplicitnom obliku
[dispmath]\sqrt2x+y=1\iff y=-\sqrt2x+1\\
2x+\sqrt2y=3\sqrt2\iff y=-\sqrt2x+3[/dispmath]
Ovde uočavamo da su obe prave paralelne tj. [inlmath]k_1=k_2=k=-\sqrt2[/inlmath]

Screenshot_5.png
Screenshot_5.png (8.28 KiB) Pogledano 4925 puta

Da bi dobili najmanje rastojanje izmedju dve prave povućićemo pravu normalnu na njih u ovom slučaju to je [inlmath]\overline{MN}[/inlmath]
Odredimo tačke preseka tj. [inlmath]M\left(\frac{\sqrt2}{2},0\right)[/inlmath] i [inlmath]N\left(\frac{7\sqrt2}{6},\frac{2}{3}\right)[/inlmath]
[inlmath]d=\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath]

Mene zanima da li ovo može da se uradi na neki drugi način (eventualno kraći) ?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Najkraće rastojanje izmedju dve prave

Postod Ilija » Petak, 20. Maj 2016, 23:55

Moze se raditi po formuli za rastojanje paralelnih pravih, ali to je samo jedna formula vise (naravno, ta formula izracunava upravo ovo rastojanje koje si ti obelezio - deo prave koja je normalna na njih).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Najkraće rastojanje izmedju dve prave

Postod Daniel » Subota, 21. Maj 2016, 00:31

Evo jednog načina koji manje koristi analitičku, a više klasičnu geometriju.

Nađemo koordinate presečnih tačaka obe prave s osama (npr. prevođenjem jednačina pravih u segmentni oblik). Uočimo rastojanja kako između presečnih tačaka s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tako i između presečnih tačaka s [inlmath]y[/inlmath]-osom:

prave1.png
prave1.png (2.48 KiB) Pogledano 4916 puta

Nakon toga transliramo jedan od ovih segmenata tako da zajedno s drugim segmentom formira pravougli trougao (na slici sam prikazao transliranje segmenta s [inlmath]x[/inlmath]-ose tako da se u tački [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] „susretne“ sa segmentom na [inlmath]y[/inlmath]-osi:

prave2.png
prave2.png (2.75 KiB) Pogledano 4916 puta

Dalje se sve svodi na to da uočimo zelenkasti pravougli trougao čije su katete poznate i da odredimo njegovu visinu na hipotenuzu, što se radi klasičnom geometrijom, preko sličnosti trouglova.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Re: Najkraće rastojanje izmedju dve prave

Postod Ilija » Subota, 21. Maj 2016, 10:44

Ilija je napisao:Moze se raditi po formuli za rastojanje paralelnih pravih,

Da dopunim. Ako imamo paralelne prave oblika [inlmath]Ax+By+C_1[/inlmath] i [inlmath]Ax+By+C_2[/inlmath], rastojanje izmedju te dve prave u oznaci [inlmath]\delta[/inlmath] bice:
[dispmath]\delta=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/dispmath]
odnosno ako imamo dve paralelne prave oblika [inlmath]y=kx+n_1[/inlmath] i [inlmath]y=kx+n_2[/inlmath], rastojanje izmedju te dve prave bice:
[dispmath]\delta=\frac{|n_2-n_1|}{\sqrt{k^2+1}}[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 08:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs