Najkraće rastojanje izmedju dve prave
Poslato: Petak, 20. Maj 2016, 20:33
Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet - jun 2015.
2. zadatak
2. Najkraće rastojanje između pravih [inlmath]\sqrt2x+y=1[/inlmath] i [inlmath]2x+\sqrt2y=3\sqrt2[/inlmath] jednako je:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace2\qquad(B)\enspace\sqrt2-1\qquad(C)\enspace0\qquad\enclose{box}{(D)\enspace\frac{2}{3}\sqrt3}\qquad(E)\enspace\frac{\sqrt6}{6}\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
Moj postupak, izrazimo obe prave u eksplicitnom obliku
[dispmath]\sqrt2x+y=1\iff y=-\sqrt2x+1\\
2x+\sqrt2y=3\sqrt2\iff y=-\sqrt2x+3[/dispmath]
Ovde uočavamo da su obe prave paralelne tj. [inlmath]k_1=k_2=k=-\sqrt2[/inlmath]
Da bi dobili najmanje rastojanje izmedju dve prave povućićemo pravu normalnu na njih u ovom slučaju to je [inlmath]\overline{MN}[/inlmath]
Odredimo tačke preseka tj. [inlmath]M\left(\frac{\sqrt2}{2},0\right)[/inlmath] i [inlmath]N\left(\frac{7\sqrt2}{6},\frac{2}{3}\right)[/inlmath]
[inlmath]d=\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath]
Mene zanima da li ovo može da se uradi na neki drugi način (eventualno kraći) ?
2. zadatak
2. Najkraće rastojanje između pravih [inlmath]\sqrt2x+y=1[/inlmath] i [inlmath]2x+\sqrt2y=3\sqrt2[/inlmath] jednako je:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace2\qquad(B)\enspace\sqrt2-1\qquad(C)\enspace0\qquad\enclose{box}{(D)\enspace\frac{2}{3}\sqrt3}\qquad(E)\enspace\frac{\sqrt6}{6}\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
Moj postupak, izrazimo obe prave u eksplicitnom obliku
[dispmath]\sqrt2x+y=1\iff y=-\sqrt2x+1\\
2x+\sqrt2y=3\sqrt2\iff y=-\sqrt2x+3[/dispmath]
Ovde uočavamo da su obe prave paralelne tj. [inlmath]k_1=k_2=k=-\sqrt2[/inlmath]
Da bi dobili najmanje rastojanje izmedju dve prave povućićemo pravu normalnu na njih u ovom slučaju to je [inlmath]\overline{MN}[/inlmath]
Odredimo tačke preseka tj. [inlmath]M\left(\frac{\sqrt2}{2},0\right)[/inlmath] i [inlmath]N\left(\frac{7\sqrt2}{6},\frac{2}{3}\right)[/inlmath]
[inlmath]d=\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath]
Mene zanima da li ovo može da se uradi na neki drugi način (eventualno kraći) ?