Stranica 1 od 1

Najkraće rastojanje izmedju dve prave

PostPoslato: Petak, 20. Maj 2016, 20:33
od Herien Wolf
Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet - jun 2015.
2. zadatak


2. Najkraće rastojanje između pravih [inlmath]\sqrt2x+y=1[/inlmath] i [inlmath]2x+\sqrt2y=3\sqrt2[/inlmath] jednako je:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace2\qquad(B)\enspace\sqrt2-1\qquad(C)\enspace0\qquad\enclose{box}{(D)\enspace\frac{2}{3}\sqrt3}\qquad(E)\enspace\frac{\sqrt6}{6}\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
Moj postupak, izrazimo obe prave u eksplicitnom obliku
[dispmath]\sqrt2x+y=1\iff y=-\sqrt2x+1\\
2x+\sqrt2y=3\sqrt2\iff y=-\sqrt2x+3[/dispmath]
Ovde uočavamo da su obe prave paralelne tj. [inlmath]k_1=k_2=k=-\sqrt2[/inlmath]

Screenshot_5.png
Screenshot_5.png (8.28 KiB) Pogledano 9840 puta

Da bi dobili najmanje rastojanje izmedju dve prave povućićemo pravu normalnu na njih u ovom slučaju to je [inlmath]\overline{MN}[/inlmath]
Odredimo tačke preseka tj. [inlmath]M\left(\frac{\sqrt2}{2},0\right)[/inlmath] i [inlmath]N\left(\frac{7\sqrt2}{6},\frac{2}{3}\right)[/inlmath]
[inlmath]d=\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath]

Mene zanima da li ovo može da se uradi na neki drugi način (eventualno kraći) ?

Re: Najkraće rastojanje izmedju dve prave

PostPoslato: Petak, 20. Maj 2016, 23:55
od Ilija
Moze se raditi po formuli za rastojanje paralelnih pravih, ali to je samo jedna formula vise (naravno, ta formula izracunava upravo ovo rastojanje koje si ti obelezio - deo prave koja je normalna na njih).

Re: Najkraće rastojanje izmedju dve prave

PostPoslato: Subota, 21. Maj 2016, 00:31
od Daniel
Evo jednog načina koji manje koristi analitičku, a više klasičnu geometriju.

Nađemo koordinate presečnih tačaka obe prave s osama (npr. prevođenjem jednačina pravih u segmentni oblik). Uočimo rastojanja kako između presečnih tačaka s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tako i između presečnih tačaka s [inlmath]y[/inlmath]-osom:

prave1.png
prave1.png (2.48 KiB) Pogledano 9831 puta

Nakon toga transliramo jedan od ovih segmenata tako da zajedno s drugim segmentom formira pravougli trougao (na slici sam prikazao transliranje segmenta s [inlmath]x[/inlmath]-ose tako da se u tački [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] „susretne“ sa segmentom na [inlmath]y[/inlmath]-osi:

prave2.png
prave2.png (2.75 KiB) Pogledano 9831 puta

Dalje se sve svodi na to da uočimo zelenkasti pravougli trougao čije su katete poznate i da odredimo njegovu visinu na hipotenuzu, što se radi klasičnom geometrijom, preko sličnosti trouglova.

Re: Najkraće rastojanje izmedju dve prave

PostPoslato: Subota, 21. Maj 2016, 10:44
od Ilija
Ilija je napisao:Moze se raditi po formuli za rastojanje paralelnih pravih,

Da dopunim. Ako imamo paralelne prave oblika [inlmath]Ax+By+C_1[/inlmath] i [inlmath]Ax+By+C_2[/inlmath], rastojanje izmedju te dve prave u oznaci [inlmath]\delta[/inlmath] bice:
[dispmath]\delta=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/dispmath]
odnosno ako imamo dve paralelne prave oblika [inlmath]y=kx+n_1[/inlmath] i [inlmath]y=kx+n_2[/inlmath], rastojanje izmedju te dve prave bice:
[dispmath]\delta=\frac{|n_2-n_1|}{\sqrt{k^2+1}}[/dispmath]