Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednacina elipse koja dodiruje pravu u tacki P

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Jednacina elipse koja dodiruje pravu u tacki P

Postod jovanmilic97 » Subota, 28. Maj 2016, 00:03

Zadatak glasi: Jednacina elipse koja dodiruje pravu [inlmath]5x+12y+75=0[/inlmath] u tacki [inlmath]P(x,-4)[/inlmath] glasi:

Posto je ova prava tangenta kruznice mozemo iskoristiti [inlmath]y=kx+n[/inlmath], gde je [inlmath]\displaystyle k=-\frac{5}{12}[/inlmath], a [inlmath]\displaystyle n=-\frac{75}{12}[/inlmath].

Sad koristimo uslov dodira [inlmath]a^2k^2+b^2=n^2[/inlmath], i zamenim [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] pri cemu sve bude: [inlmath]\displaystyle a^2\cdot\frac{25}{144}+b^2=\frac{5625}{144}\quad(1)[/inlmath]

Onda zamenim [inlmath]-4[/inlmath] u jednacinu prave da dobijemo [inlmath]x[/inlmath] deo koordinate tacke [inlmath]P[/inlmath], i to bude [inlmath]\displaystyle-\frac{27}{5}[/inlmath].

Zamenim [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u jednacinu elipse, i pomnozim sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath]...
[inlmath]\displaystyle\frac{729}{25}+16=a^2b^2\quad(2)[/inlmath]

I sad imamo sistem od [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath], ali izdvajanjem [inlmath]a^2[/inlmath] iz druge jednacine i zamenom u 1. dobijem
[inlmath]1129+144b^4-5625b^2=0[/inlmath] i smena [inlmath]b^2=t[/inlmath] sa uslovom vece od [inlmath]0[/inlmath].

Tu sam se zaglavio. Ne mogu da dobijem dobro resenje za [inlmath]b[/inlmath] jer determinanta nije pravi koren. Posto je ovo zadatak sa maturskog ispita od prosle godine, ne znam resenje. Pomoc bi mi dobro dosla, verovatno sam nesto pogresio.
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 30 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednacina elipse koja dodiruje pravu u tacki P

Postod Ilija » Subota, 28. Maj 2016, 00:48

Tebi je prva jednacina dobra, ali druga nije. Na levoj strani jednakosti fale ti nepoznate [inlmath]a^2[/inlmath] kod [inlmath]16[/inlmath] i [inlmath]b^2[/inlmath] kod [inlmath]\frac{729}{25}[/inlmath].

Za prvu jednacinu dobijas:
[dispmath]25a^2+144b^2=5625[/dispmath]
a za drugu trebalo bi da dobijes:
[dispmath]\frac{729b^2}{25}+16a^2=a^2b^2[/dispmath]
a kada to podelimo sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath], dobije se:
[dispmath]\frac{729}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/dispmath]
Sada iz prve jednacine mozes izraziti da ti je [inlmath]25a^2=5625-144b^2[/inlmath], i zameniti u drugoj, pa ces nakon zamene dobiti bikvadratnu jednacinu:
[dispmath]144b^4-7200b^2+90000=0[/dispmath]
odnosno ako se to podeli sa [inlmath]144[/inlmath]:
[dispmath]b^4-50b^2+625=0[/dispmath]
Ovo je kvadrat binoma [inlmath]\left(b^2-25\right)^2[/inlmath], pa odatle lako dobijas da je [inlmath]b^2=25[/inlmath], iz cega sledi da je [inlmath]a^2=81[/inlmath], pa ce jednacina elipse biti:
[dispmath]25x^2+81y^2=2025[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Jednacina elipse koja dodiruje pravu u tacki P

Postod jovanmilic97 » Subota, 28. Maj 2016, 10:19

Hvala Ilija! Ne mogu da verujem na cemu sam pogresio, a dobro postavim zadatak, samo mi tako nesto treba na maturskom ispitu... :(
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 30 puta

  • +1

Re: Jednacina elipse koja dodiruje pravu u tacki P

Postod Daniel » Ponedeljak, 30. Maj 2016, 19:04

Sve OK, samo bih predložio malo pojednostavljenje u ovom koraku,
Ilija je napisao:[dispmath]\frac{729}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/dispmath]
Sada iz prve jednacine mozes izraziti da ti je [inlmath]25a^2=5625-144b^2[/inlmath], i zameniti u drugoj, pa ces nakon zamene dobiti bikvadratnu jednacinu:
[dispmath]144b^4-7200b^2+90000=0[/dispmath]

Kako bismo izbegli ovako velike brojeve (i, samim tim, veću šansu da pogrešimo u računu), u jednačini [inlmath]25a^2=5625-144b^2[/inlmath] možemo uočiti da su i [inlmath]5625[/inlmath] i [inlmath]144[/inlmath] deljivi sa [inlmath]9[/inlmath], pa to onda pišemo kao [inlmath]25a^2=9\left(625-16b^2\right)[/inlmath].
Takođe, u jednačini [inlmath]\frac{729}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/inlmath] možemo uočiti da je i [inlmath]729[/inlmath] deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], pa ga pišemo kao [inlmath]9\cdot81[/inlmath].
I onda, nakon uvrštavanja [inlmath]25a^2=9\left(625-16b^2\right)[/inlmath] u jednačinu [inlmath]\frac{9\cdot81}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/inlmath], imamo:
[dispmath]\left.\frac{\cancel9\cdot81}{\cancel9\left(625-16b^2\right)}+\frac{16}{b^2}=1\quad\right/\cdot b^2\left(625-16b^2\right)\\
81b^2+16\cdot625-16\cdot16b^2=625b^2-16b^4[/dispmath]
(dakle, ništa još uvek ne množiti, već ostaviti ovako u obliku proizvoda)
[dispmath]16b^4\underbrace{+81b^2-625b^2}_{-544b^2=-16\cdot34b^2}-16\cdot16b^2+16\cdot625=0\\
16b^4-16\cdot34b^2-16\cdot16b^2+16\cdot625=0[/dispmath]
Ovime smo dobili da su svi koeficijenti u ovoj jednačini deljivi sa [inlmath]16[/inlmath] pa možemo celu jednačinu podeliti sa [inlmath]16[/inlmath] (zbog toga nije trebalo u prethodnim koracima izvršiti ona množenja):
[dispmath]b^4-34b^2-16b^2+625=0\\
b^4-50b^2+625=0[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs