Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Konusni preseci

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Konusni preseci

Postod Arhimed66 » Ponedeljak, 01. Maj 2017, 08:32

Pozdrav
Zadatak je jednacina konusnog preseka u ravni [inlmath]Oxy[/inlmath] (elipsa, parabola…) u funkciji parametara konusa.
Osa kruznog konusa na [inlmath]z[/inlmath]-osi ima tacku [inlmath]z=h[/inlmath], na [inlmath]y[/inlmath]-osi prolazi kroz tacku [inlmath]y=b[/inlmath].
Izvodnice konusa su prave koje polaze iz temena konusa [inlmath]z=h[/inlmath], i sa osom konusa grade ugao [inlmath]\alpha[/inlmath].
U preseku sa ravni [inlmath]Oxy[/inlmath] konus gradi krivu cija jednacina se trazi - u funkciji parametara [inlmath]h[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]\alpha[/inlmath].
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 01. Maj 2017, 11:11, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Konusni preseci

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Maj 2017, 11:11

Pozdrav i tebi, dobro došao na forum.
Moraću, ipak, da te zamolim da pitanje postaviš u skadu s forumskim Pravilnikom.
  • Prvo, zadatak je veoma konfuzno napisan. Otprilike naslućujem kakva bi u zadatku mogla biti situacija i šta se u njemu traži, ali da ne bismo ništa naslućivali i pretpostavljali, možeš li da citiraš tačan tekst zadatka, ili, ukoliko ga nemaš pred sobom, da onda pokušaš malo jasnije da formulišeš ono što je u zadatku zadato i ono što se traži? (Tačka 11. Pravilnika)
  • Drugo, obavezna je upotreba Latexa (tačka 13. Pravilnika). Dodao sam Latex u tvoj post i složićeš se da sad, makar u tom smislu, izgleda preglednije. (Usput sam ti korigovao i oznake koordinatnih osa – ne pišu se sa [inlmath]X[/inlmath], [inlmath]Y[/inlmath] i [inlmath]Z[/inlmath], već sa [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] – tj. mala slova.)
  • I, najvažnije – tačka 6. Pravilnika. Potrebno je da navedeš neke svoje ideje za rešavanje, da napišeš dokle si stigao, šta ti predstavlja problem itd., jer ćeš time uštedeti trud onima koji žele da ti pomognu – kako ti ne bi bez potrebe radili ceo zadatak, od početka do kraja. A to nije ni smisao ovog foruma. :)
Hajde, koriguj/dopuni svoje pitanje pa da krenemo na posô. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Konusni preseci

Postod Arhimed66 » Ponedeljak, 01. Maj 2017, 14:30

Nije klasican zadatak sa konkretnim brojevima, vec pokusaj da resenje (izvedena jednacina - ako je moguca) bude deo internog softvera. Podesavanje ugla i visine reflektora iznad scene i slicni problemi.
Problem mi je izvodjenje jednacine konusa cija osa nije ni jedna od koordinata [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath], [inlmath]z[/inlmath], vec sece ose [inlmath]Oz[/inlmath] i [inlmath]Oy[/inlmath] u tackama [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Ako ne gresim jednacina ose konusa bila bi:
[inlmath]\displaystyle\frac{y}{b}+\frac{z}{h}=1.[/inlmath]
Jednacina prave koja rotira oko ose formirajuci konus bila bi:
[inlmath]\displaystyle\frac{z}{h}+\frac{y}{??}=1[/inlmath]. Osa i izvodnice konusa grade ugao [inlmath]\alpha[/inlmath].
Jednacina konusa bila bi tipa: [inlmath]\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot(\cos\alpha)^2=(lx+my+nz)^2[/inlmath]

Drugi deo zadatka, presek konusa i [inlmath]Oxy[/inlmath] ravni nece mi biti problem.
Izvinite zbog nesnalazenja sa oznakama i fontom.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 01. Maj 2017, 18:28, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika!
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Konusni preseci

Postod Corba248 » Ponedeljak, 01. Maj 2017, 14:51

Kao što vidim već si upozoren zbog kršenja tačke 13. Nisam siguran kako to da se ne snalaziš sa, kako kažeš, oznakama i fontom, jer sve ovo što si napisao trebalo je manje-više da uokviriš InlineMath ili equation tagovima.
Arhimed66 je napisao:Jednacina konusa bila bi tipa: (x^2+y^2+z^2)*(COS alfa)^2 = (lx+my+nz)^2

Da si pisao u LaTex-u izgledalo bi ovako [inlmath](x^2+y^2+z^2)\cdot\cos^2\alpha=(lx+my+nz)^2[/inlmath], a samo je trebalo da pre pisanja klikneš na InlineMath i napišeš (x^2+y^2+z^2)\cdot\cos^2\alpha=(lx+my+nz)^2. Dakle, skoro isto što si ti i napisao.
Što se zadatka tiče, možeš li malo da pojasniš svoj prethodni post? Da li se traži samo presek ili i jednačina konusa?
I, molim te, upotrebi LaTex.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Konusni preseci

Postod Arhimed66 » Ponedeljak, 01. Maj 2017, 15:40

Samo jednacina konusa je problem. Sve drugo cu dobiti kada u nju uvrstim uslov [inlmath]z=0[/inlmath]
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Konusni preseci

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Maj 2017, 19:22

Arhimed66 je napisao:Ako ne gresim jednacina ose konusa bila bi:
[inlmath]\displaystyle\frac{y}{b}+\frac{z}{h}=1.[/inlmath]

Osa konusa predstavlja pravu, a prava u 3D-prostoru nikako ne može biti određena takvom jednačinom. Ovo što si napisao bio bi segmentni oblik jednačine prave u ravni, ali pošto ovde imamo prostor, jednačina koju si napisao predstavljala bi ravan koja sadrži osu konusa a normalna je na [inlmath]yOz[/inlmath]-ravan.

Arhimed66 je napisao:Jednacina prave koja rotira oko ose formirajuci konus bila bi:
[inlmath]\displaystyle\frac{z}{h}+\frac{y}{??}=1[/inlmath].

:?:
To bi, gledano u [inlmath]yOz[/inlmath]-ravni, bio neki pramen pravih koje [inlmath]z[/inlmath]-osu seku u tački [inlmath]z=h[/inlmath]. I ništa više.

Arhimed66 je napisao:Jednacina konusa bila bi tipa: [inlmath]\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot(\cos\alpha)^2=(lx+my+nz)^2[/inlmath]

Ovo mi zaista nije poznato. Jednačina kružnog konusa u njegovom osnovnom položaju (vrh u [inlmath](0,0,0)[/inlmath] i osa koja se poklapa sa [inlmath]z[/inlmath]-osom) bila bi [inlmath]x^2+y^2=kz^2[/inlmath]. Traženje jednačine konusa koji je u odnosu na osnovni položaj transliran i zarotiran (o tome kako to izgleda u ravni, s krivama drugog reda, bilo je reči ovde) bilo bi veoma komplikovano. Srećom, koliko ja vidim, ovde se jednačina konusnog preseka s [inlmath]xOy[/inlmath]-ravni (a to je, koliko sam shvatio, ono što tebi zapravo treba) može odrediti i bez jednačine konusa.

Arhimed66 je napisao:Samo jednacina konusa je problem. Sve drugo cu dobiti kada u nju uvrstim uslov [inlmath]z=0[/inlmath]

Ne razumem ovo, odakle sad taj uslov [inlmath]z=0[/inlmath]? :confusion-scratchheadyellow:

Znači, ako želiš da odrediš jednačinu konusnog preseka. Prvo, potrebno je da znaš koje sve oblike, i u kojim slučajevima, možeš dobiti kao te preseke.
  • Ako je ravan koja seče kružni konus normalna na osu konusa, presek je krug. Ovde to odgovara situaciji kada je [inlmath]b=0[/inlmath], tj. kada se osa konusa poklapa sa [inlmath]z[/inlmath]-osom. Mislim da nije nikakav problem odrediti poluprečnik tog kruga koji se dobija kao konusni presek.
  • Ako je ugao između ose konusa i presečne ravni veći od [inlmath]\alpha[/inlmath] a manji od [inlmath]90^\circ[/inlmath], presek je elipsa. Jednačinu te elipse određuješ tako što odrediš njene četiri tačke preseka s njenim poluosama.
  • Ako je ugao između ose konusa i presečne ravni jednak uglu [inlmath]\alpha[/inlmath] (tj. ako je presečna ravan paralelna jednoj od izvodnica konusa), presek je parabola.
  • Ako je ugao između ose konusa i presečne ravni veći od nule a manji od [inlmath]\alpha[/inlmath], presek je hiperbola.
  • Ako je ugao između ose konusa i presečne ravni jednak nuli i ako presečna ravan sadrži osu konusa (što ovde odgovara slučaju [inlmath]z=0[/inlmath], tj. kada se osa konusa poklapa s [inlmath]y[/inlmath]-osom), presek je jednakokraki trougao.
Dakle, za svaki od ovih slučajeva odrediš parametre dobijenih oblika (malo geometrijom, malo trigonometrijom, malo analitičkom geometrijom...) Ima dosta posla, ali je svakako jednostavnije nego tražiti jednačinu transliranog i zarotiranog konusa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Konusni preseci

Postod Arhimed66 » Utorak, 02. Maj 2017, 11:10

Daniele,
verovatno ste u pravu, lakse je (uz mnogo koraka) trigonometrijom. Uspeo sam sa elipsom, probacu i ostale krive.

Dozvolite da jos jednom opisem sta mi je bio cilj:
Imamo kruzni konus sa nepromenljivim uglom izmedju izvodnica [inlmath]\alpha[/inlmath]. Uhvatimo konus za teme i okacimo ga na osu [inlmath]Oz[/inlmath] na visinu [inlmath]h[/inlmath] u odnosu na koor.pocetak. Osa konusa i [inlmath]Oz[/inlmath] osa se poklapaju - samo na pocetku analize. Konus tada prodire u ravan [inlmath]xOy[/inlmath] gradeci kruznicu sa centrom u koor.pocetku. Dimenzije i jednacina kruznice zavise od visine [inlmath]h[/inlmath] i ugla izvodnica konusa. Sada zarotiramo konus u ravni [inlmath]yOz[/inlmath] za ugao [inlmath]\beta[/inlmath]. Ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] izvodnica konusa se pri tom ne menja. Kruznica se pomera po [inlmath]Oy[/inlmath] osi i postaje (najpre) elipsa. Zadatak je naci polozaj i dimenzije tj jednacinu elipse. Naravno u funkciji visine [inlmath]h[/inlmath] i pomenutih uglova. Podrazumevano, elipsa je u [inlmath]xOy[/inlmath] koor.sistemu.
Daljom rotacijom konusa u [inlmath]yOz[/inlmath] ravni elipsa ce postati parabola i onda se analiza ponavlja za tu krivu.

Temu sam pokrenuo misleci da je lakse preko jednacina konusa i presecne kose ravni.

Hvala za dobru volju i sugestije.
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Konusni preseci

Postod Daniel » Utorak, 02. Maj 2017, 15:40

Jeste, upravo tako sam i razumeo. Znači, imamo reflektor koji emituje neki snop svetlosti u vidu konusa (pri čemu je ugao tog konusa [inlmath]\alpha[/inlmath] nepromenljiv jer zavisi od konstrukcije samog reflektora). Reflektor možemo postaviti na veću ili manju visinu [inlmath]h[/inlmath] u odnosu na ravan podloge, a takođe ga možemo i rotirati prema dole ili prema gore, čime se menja položaj preseka ose svetlosnog snopa i ravni podloge ([inlmath]b[/inlmath]). Naravno, interesuje nas trag koji svetlosni snop reflektora ostavlja na ravni podloge.

Otprilike ovako:


Vrlo interesantan zadatak (ako se uopšte i može nazvati zadatkom), upravo zato što i nije zadatak u klasičnom smislu, već predstavlja primenu analitičke geometrije u praksi.

U međuvremenu mi je još palo na pamet da bismo mogli da koordinatni sistem umesto za ravan podloge vežemo za konus, čime bismo konus lako predstavili jednačinom. Međutim, tada bismo dobili konusne preseke zarotirane u prostoru, tako da opet time ništa nismo uradili. Ipak i dalje mislim da je najbolje onako kako sam predložio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 11:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs