Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Tangenta krive

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Tangenta krive

Postod Ilija Varvarin » Nedelja, 11. Jun 2017, 16:38

Pozdrav svima :D , ovako glasi zadatak:

Pokazati da svaka tangenta krive [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt[2]{x-4x^2}[/inlmath] presjeca ordinatnu osu u tacki podjednako udaljenoj od tacke dodira i koordinatnog pocetka.
Ne razumijem bas najbolje uslov zadatka, izracunao sam prvi izvod [inlmath]y'=\frac{1-8x}{4\sqrt[2]{x-4x^2}}[/inlmath] radi jednacine tangente krive ali ne znam kako da to iskoristim
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tangenta krive

Postod Daniel » Nedelja, 11. Jun 2017, 21:55

Pozdrav! :)
Možda će sa slike biti jasnije:

tangente.png
tangente.png (1.56 KiB) Pogledano 1169 puta

Ako na krivoj [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}[/inlmath] odaberemo tačku [inlmath]A[/inlmath] kao na slici, povučemo kroz nju tangentu na krivu i presek tangente i ordinate označimo sa [inlmath]C[/inlmath], važiće [inlmath]AC=OC[/inlmath], gde je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni početak.
Izaberemo zatim neku drugu tačku na krivoj, obeležimo je sa [inlmath]B[/inlmath], isto povučemo tangentu, presek tangente i ordinate obeležimo sa [inlmath]D[/inlmath], takođe će važiti [inlmath]BD=OD[/inlmath].
Potrebno je dokazati da svaka tačka na datoj krivoj ima tu osobinu.

Izraz za funkciju [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}[/inlmath] možemo pogodnim transformacijama predstaviti u takvom obliku koji je zgodniji da se iz njega vidi da ova kriva predstavlja zapravo gornju polovinu kružnice, čiji je centar transliran iz koordinatnog početka za dužinu poluprečnika kružnice, u pozitivnom smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose. To znači da će se centar te kružnice (čiju gornju polovinu posmatramo) nalaziti na [inlmath]x[/inlmath]-osi, a da će ta kružnica dodirivati ordinatu.
Kad se ovo pokaže, dalje je zadatu tvrdnju moguće vrlo lako dokazati na čisto geometrijski način (podudarnost trouglova).

Ukoliko se baš traži da se tvrdnja dokaže analitičkim putem, potrebno je napisati jednačinu tangente, za šta si već načinio prvi korak – našao si izvod krive. Za proizvoljno izabranu tačku [inlmath]M(x,y)[/inlmath] na krivoj treba umesto [inlmath]y[/inlmath] uvrstiti izraz za funkciju (to će biti [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke), koeficijent pravca tangente imaš, to je izvod koji si odredio, potrebno je da još nađeš presek tangente s ordinatom. Zatim, takođe analitički, odrediš rastojanje preseka tangente s ordinatom od izabrane tačke [inlmath]M[/inlmath], a zatim pokažeš da je to zapravo [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka tangente s ordinatom, čime će zadato tvrđenje biti dokazano.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tangenta krive

Postod razer123 » Nedelja, 11. Jun 2017, 23:21

Kidas Daniele ;)
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Tangenta krive

Postod Ilija Varvarin » Ponedeljak, 12. Jun 2017, 13:14

Hvala puno na objasnjenju, ali izgleda da sam previse glup da ovo dokazem :sad3:

Ovo mi je jednacina tangente koja prolazi kroz tacku [inlmath]M\left(x,\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}\right)[/inlmath]
[dispmath]Y-\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}=\frac{1-8x}{4\sqrt{x-4x^2}}(X-x)[/dispmath] A tangenta bi trebala sjeci ordinatu u nekoj tacki cije su kordinate [inlmath](0,y)[/inlmath] , ali ne znam kako da uz pomoc ovoga odredim rastojanje izmedju presjeka tangente s ordinatom i tačke [inlmath]M[/inlmath]
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Tangenta krive

Postod Daniel » Ponedeljak, 12. Jun 2017, 14:46

OK, znači nađeš [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu preseka tangente s ordinatom uvrštavanjem [inlmath]X=0[/inlmath] u jednačinu tangente koju si dobio. Nakon toga rastojanje između preseka i tačke [inlmath]M[/inlmath] računaš po onoj formuli za rastojanje između dve tačke s koordinatama [inlmath](x_1,y_1)[/inlmath] i [inlmath](x_2,y_2)[/inlmath]:
[dispmath]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/dispmath] (što je prilično očigledno, čista primena Pitagorine teoreme)

Dobićeš da je [inlmath]d[/inlmath] jednako [inlmath]y[/inlmath]-koordinati preseka tangente s ordinatom, i time je dokaz završen.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tangenta krive

Postod Ilija Varvarin » Ponedeljak, 12. Jun 2017, 15:16

Jos jednom vam hvala, sad sam konacno shvatio :D
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs