Pozdrav!
Možda će sa slike biti jasnije:
- tangente.png (1.56 KiB) Pogledano 1171 puta
Ako na krivoj [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}[/inlmath] odaberemo tačku [inlmath]A[/inlmath] kao na slici, povučemo kroz nju tangentu na krivu i presek tangente i ordinate označimo sa [inlmath]C[/inlmath], važiće [inlmath]AC=OC[/inlmath], gde je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni početak.
Izaberemo zatim neku drugu tačku na krivoj, obeležimo je sa [inlmath]B[/inlmath], isto povučemo tangentu, presek tangente i ordinate obeležimo sa [inlmath]D[/inlmath], takođe će važiti [inlmath]BD=OD[/inlmath].
Potrebno je dokazati da svaka tačka na datoj krivoj ima tu osobinu.
Izraz za funkciju [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}[/inlmath] možemo pogodnim transformacijama predstaviti u takvom obliku koji je zgodniji da se iz njega vidi da ova kriva predstavlja zapravo gornju polovinu kružnice, čiji je centar transliran iz koordinatnog početka za dužinu poluprečnika kružnice, u pozitivnom smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose. To znači da će se centar te kružnice (čiju gornju polovinu posmatramo) nalaziti na [inlmath]x[/inlmath]-osi, a da će ta kružnica dodirivati ordinatu.
Kad se ovo pokaže, dalje je zadatu tvrdnju moguće vrlo lako dokazati na čisto geometrijski način (podudarnost trouglova).
Ukoliko se baš traži da se tvrdnja dokaže analitičkim putem, potrebno je napisati jednačinu tangente, za šta si već načinio prvi korak – našao si izvod krive. Za proizvoljno izabranu tačku [inlmath]M(x,y)[/inlmath] na krivoj treba umesto [inlmath]y[/inlmath] uvrstiti izraz za funkciju (to će biti [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke), koeficijent pravca tangente imaš, to je izvod koji si odredio, potrebno je da još nađeš presek tangente s ordinatom. Zatim, takođe analitički, odrediš rastojanje preseka tangente s ordinatom od izabrane tačke [inlmath]M[/inlmath], a zatim pokažeš da je to zapravo [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka tangente s ordinatom, čime će zadato tvrđenje biti dokazano.