Probni prijemni ispit MATF - 10. jun 2017.
14. zadatak
Prava koja sadrži tačku sa elipse [inlmath]2x^2+y^2=18[/inlmath] i normalna je na tangentu elipse u toj tački prolazi kroz tačku [inlmath](1,0)[/inlmath]. Zbir apscisa i ordinata svih takvih tačaka sa date elipse je
Resenje je [inlmath]-2[/inlmath]
Zaista nemam neku dobru ideju za ovaj zadatak, mada jesam uspeo da napravim sistem 5 jednačina sa 5 nepoznatih ali se zaista iskomplikuje previše, ne verujem da se ovako radi zadatak pa bih bio zahvalan na pomoći.
Dakle ja sam uzeo tu tačku dodira na elipsi i obeležio sa [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] i ubacio tu tačku u elipsu i u pravu [inlmath]y=kx+n[/inlmath]. Zatim tačku [inlmath](1,0)[/inlmath] u pravu. Onda pošto je prava normalna na tangentu elipse dobijemo još jednu i na kraju uslov dodira...
[dispmath]2x_0^2+y_0^2=18[/dispmath][dispmath]y_0=kx_0+n[/dispmath][dispmath]0=k+n[/dispmath][dispmath]y_0=\frac{-1}{k}+m[/dispmath][dispmath]9\cdot\frac{1}{k^2}+18=m^2[/dispmath]