Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednačina prave na rastojanju od tačke

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod Jovan111 » Subota, 13. Januar 2018, 18:45

Poštovanje.

Zad: Odrediti jednačine pravih koje sadrže tačku [inlmath]A(2,5)[/inlmath] i čije je odstojanje od tačke [inlmath]N(5,1)[/inlmath] jednako [inlmath]3[/inlmath].




Hvala najlepše na pomoći (nema potrebe da neko radi moje zadatke, samo smernice)
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod Daniel » Subota, 13. Januar 2018, 21:20

Za početak, znaš li kako u ravni izgleda geometrijsko mesto tačaka koje su od neke fiksne (zadate) tačke udaljene za neko rastojanje [inlmath]d[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7359
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3820 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod Jovan111 » Subota, 13. Januar 2018, 23:04

Taj termin "geometrijsko mesto" mi nije baš najjasniji, pokušavao sam da nađem na internetu pojašnjenje, ali mi je i dalje nejasno (klasa tačaka koje imaju jednu ili više zajedničkih osobina?). Ali ipak, to bi trebalo da bude prava koja je paralelna pravoj kroz datu tačku. Pa ako su te dve prave paralelne, onda imaju iste koeficijente pravca pa (pretpostavljam) mogu napisati:
[dispmath]a\colon y-5=k(x-2)\\
n\colon y-1=k(x-5)[/dispmath]
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod Daniel » Utorak, 16. Januar 2018, 01:32

Geometrijsko mesto je zapravo skup svih tačaka za koje je ispunjen određen uslov.

Jovan111 je napisao:Ali ipak, to bi trebalo da bude prava koja je paralelna pravoj kroz datu tačku.

:?: Ne znam na osnovu čega si ovo zaključio.

Ono što sam te pitao – geometrijsko mesto tačaka koje su od neke date tačke udaljene za podjednako rastojanje [inlmath]d[/inlmath] jeste kružnica poluprečnika [inlmath]d[/inlmath]. Drugačije rečeno, kružnicu čine sve tačke podjednako udaljene od neke date tačke, koja predstavlja centar kružnice.

Potrebno je da kroz tačku [inlmath]A(2,5)[/inlmath] postaviš tangente na kružnicu poluprečnika [inlmath]3[/inlmath] čiji je centar u tački [inlmath]N(5,1)[/inlmath]. Te tangente će biti upravo ono što se traži u zadatku, jer one će biti prave koje prolaze kroz [inlmath]A(2,5)[/inlmath], a od tačke [inlmath]N(5,1)[/inlmath] su udaljene za [inlmath]3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7359
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3820 puta
Pohvaljen: 3971 puta

  • +1

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod Jovan111 » Petak, 19. Januar 2018, 15:32

Važi važi... Hvala mnogo, ali sam i sam posle to ukapirao.


Ali ipak ako nekom ikada bude trebao ovaj zadatak (i da se pravim pametan jer sam ga razumeo hahahaha) uradiću ga.



Neka tačka koja pripada traženim pravama je na udaljenosti [inlmath]3[/inlmath] od date tačke [inlmath]N[/inlmath]. Geometrijsko mesto tačaka koje su od date tačke udaljene za rastojanje [inlmath]l[/inlmath] je krug sa centrom u datoj tački i radijusom koji je jednak tom rastojanju.

tangente.png
tangente.png (14.8 KiB) Pogledano 323 puta

Sa slike se vidi da su prave na rastojanju [inlmath]3[/inlmath] od tačke [inlmath]N[/inlmath] u stvari one kojima pripadaju tangente iz iste tačke na kružnicu, a pošto se sa slike vidi da je [inlmath]E(2,1)[/inlmath] onda je [inlmath]|AE|=|AF|=4[/inlmath], te je dalje
[dispmath]4^2=(2-x)^2+(5-y)^2,[/dispmath] pri čemu je [inlmath]|NF|=3[/inlmath], te je
[dispmath]3^2=(5-x)^2+(1-y)^2[/dispmath] i nakon što se oslobodimo zagrada dobija se:
[dispmath]10x-x^2+2y-y^2=17\\
4x-x^2+10y-y^2=13[/dispmath] Nakon što se oslobodimo na primer [inlmath]y^2[/inlmath] dobija se
[dispmath]x=\frac{2+4y}{3},[/dispmath] koje nakon što se uvrsti u prvu jednačinu daje da je
[dispmath]y_1=1\\
y_2=\frac{97}{25},[/dispmath] za koje slede
[dispmath]x_1=2\\
x_2=\frac{146}{25},[/dispmath] što su koordinate tačaka:
[dispmath]E(2,1)\\
F\left(\frac{146}{25},\frac{97}{25}\right),[/dispmath] te je dalje (što se i sa slike vidi) prva prava sa jednačinom
[dispmath]p\colon x=2,[/dispmath] a druga sa jednačinom koja se dobija primenom obrasca za jednačinu prave kroz dve poznate tačke ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]F[/inlmath]), što je:
[dispmath]q\colon y-5=\frac{5-\frac{97}{25}}{2-\frac{146}{25}}(x-2),[/dispmath] odakle je
[dispmath]24y+7x-134=0[/dispmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 19. Januar 2018, 20:01, izmenjena samo jedanput
Razlog: Umanjivanje slike
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod Daniel » Petak, 19. Januar 2018, 20:01

Bravo! :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7359
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3820 puta
Pohvaljen: 3971 puta

  • +1

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

Postod bobanex » Petak, 19. Januar 2018, 21:02

[dispmath]d_{pN}=\frac{\left|kx_N+n-y_N\right|}{\sqrt{k^2+1}}\\
p\colon y_M=kx_M+n[/dispmath] Ja sam koristio ova dva izraza kako bih došao do drugog netrivijalnog rešenja.
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 460
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 465 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 11. Decembar 2018, 08:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs